圆与相似的综合运用

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1、圆与相似的综合运用一、考标要求：（1）灵活掌握与圆有关的概念，定理，性质和判定。（2）充分利用圆中的有关知识解决一类与圆有关的实际应用问题、动态型问题、探索型问题，并会探索平面图形的镶嵌问题，且能用几种常见的图形进行简单的镶嵌设计。（3）综合运用圆、方程、函数、三角、相似形等知识解决一类与圆有关的中考压轴题．（4）考察了数形结合的思想、分类讨论的思想以及观察、想象、分析、综合、比较、演绎、归纳、抽象、概括、类比等数学方法；同时，考查学生逻辑推理的能力、分析和解决问题的能力，以及创新意识和实践的能力．二、典例精析例1．如图，点在上，，与相交于点，，延长到点，使

2、，连结．（1）证明；（2）试判断直线与的位置关系，并给出证明．7yBTOxACFMNP例2．如图，已知直线y=－m(x－4)（m＞0）与x轴、y轴分别交于A、B两点，以OA为直径作半圆，圆心为C.过A作x轴的垂线AT，Ｍ是线段OB上一动点（与O点不重合），过M点作半圆的切线交直线AT于N，交AB于F，切点为P.连结CN、CM.（1）证明：∠MCN=90°；（2）设OM＝x，AN＝y，求y关于x的函数解析式；（3）若OM=1，当m为何值时，直线AB恰好平分梯形OMNA的面积.【反馈练习】1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O与AB边交

3、于点D，过点D作⊙O的切线，交BC于点E.（1）求证：点E是边BC的中点；（2）若EC=3，BD=，求⊙O的直径AC的长度；（3）若以点O，D，E，C为顶点的四边形是正方形，试判断△ABC的形状，并说明理由.72．如图，是半圆的直径，过点作弦的垂线交切线于点与半圆交于点，连结．CAOBED（1）求证：；（2）若，求的长．3．（本题满分12分）如图，AB是⊙O的直径，∠BAC=60°，P是OB上一点，过P作AB的垂线与AC的延长线交于点Q，过点C的切线CD交PQ于D，连结OC．（1）求证：△CDQ是等腰三角形；（2）如果△CDQ≌△COB，求BP:PO的值．7

4、4、如图，在平面直角坐标系中，是轴正半轴上一点，⊙M与轴的正半轴交于两点，在的左侧，且的长是方程的两根，是⊙M的切线，为切点，在第四象限．（1）求⊙M的直径．（2）求直线的解析式．图175．如图12－1所示，在中，，，为的中点，动点在边上自由移动，动点在边上自由移动．（1）点的移动过程中，是否能成为的等腰三角形？若能，请指出为等腰三角形时动点的位置．若不能，请说明理由．（2）当时，设，，求与之间的函数解析式，写出的取值范围．（3）在满足（2）中的条件时，若以为圆心的圆与相切（如图12－2），试探究直线与⊙O的位置关系，并证明你的结论．图12-2图12-176

5、．如图，是以为直径的⊙O上一点，于点，过点作⊙O的切线，与的延长线相交于点是的中点，连结并延长与相交于点，延长与的延长线相交于点．（1）求证：；（2）求证：是⊙O的切线；（3）若，且⊙O的半径长为，求和的长度．ODGCAEFBP71、解：（1）在和中，，，．又，．（2）直线与相切．证明：连结．，．．所以是等腰三角形顶角的平分线．．由，得．．由知，．直线与相切．【点评】．这是一道利用圆内的有关性质，得出三角形相似的结论。再次巩固了全等三角形,相似三角形,平行线的知识,得出直线与圆的位置关系．同时同学们在做题的过程中，要注意思维的逻辑性和书写的规范性．2、解（1

6、）证明：∵AT⊥AO，OM⊥AO，AO是⊙C的直径,　　∴AT、OM是⊙C的切线．又∵MN切⊙C于点PyBTOxACFMNP12G3∴∠CMN=∠OMN，∠CNM=∠ANM　　∵OM∥AN∴∠ANM＋∠OMN=180°∴∠CMN＋∠CNM=∠OMN＋∠ANM=(∠OMN＋∠ANM)=90°,∴∠CMN=90°　（2）由（1）可知：∠1+∠2=90°，而∠2+∠3=900，∴∠1=∠3；∴Rt△MOC∽Rt△CAN　　∴=　　　　∵直线y=－m(x–4)交x轴于点A，交y轴于点B，∴A（4，0），∴AC=CO=2∵OM=x，AN=y，∵=∴y=　　　　（3）∵

7、OM=1，∴AN=y=4，此时S四边形ANMO=10∵直线AB平分梯形ANMO的面积，∴△ANF的面积为5过点F作FG⊥AN于G，则FG·AN=5，∴FG=∴点F的横坐标为4－=∵M（0，1），N（4，4）∴直线MN的解析式为y=x＋1　∵F点在直线MN上，∴F点的纵坐标为y=∴F（,）　∵点F又在直线y=－m(x－4)上∴=－m(－4)∴m=【点评】这是一道是几何与代数的相结合的中考压轴题．包含了相似的判定和性质，切线的性质等等；在变化中建立函数模型以及面积、坐标与线段之间的巧妙转化．的确是一道覆盖面广，综合性强的妙题．7