圆与相似的结合.doc

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1、1．如图，在△ABC中，AB＝BC，以AB为直径的⊙O与AC交于点D，过D作DF⊥BC，交AB的延长线于E，垂足为F．(1)求证：直线DE是⊙O的切线；(2)当AB＝5，AC＝8时，求cosE的值．2．已知：如图，AC⊙O是的直径，BC是⊙O的弦，点P是⊙O外一点，∠PBA=∠C．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）若OP∥BC，且OP=8，BC=2．求⊙O的半径．3．如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC=90°，弦BD=BA，AB=12，BC=5，BE⊥DC交DC的延长线于点E.（1）求证：∠BCA=∠BAD；（2）求DE的长；（3）求证:BE是⊙O的切线。4．如图，

2、AB是半圆O的直径，点P在BA的延长线上，PD切⊙O于点C，BD⊥PD，垂足为D，连接BC．（1）求证：BC平分∠PDB；（2）求证：BC2=AB•BD；（3）若PA=6，PC=6，求BD的长．5．如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC为⊙O直径，作∠CAD=∠B，且点D在BC的延长线上，CE⊥AD于点E．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为8，CE=2，求CD的长．6．如图，AD是△ABC的角平分线，以点C为圆心，CD为半径作圆交BC的延长线于点E，交AD于点F，交AE于点M，且∠B=∠CAE，EF：FD=4：3．（1）求证：点F是AD的中点；（2）求cos∠AE

3、D的值；（3）如果BD=10，求半径CD的长．7．如图，已知在△ABP中，C是BP边上一点，∠PAC=∠PBA，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，且交BP于点E．（1）求证：PA是⊙O的切线；（2）过点C作CF⊥AD，垂足为点F，延长CF交AB于点G，若AG•AB=12，求AC的长；（3）在满足（2）的条件下，若AF：FD=1：2，GF=1，求⊙O的半径及sin∠ACE的值．参考答案1．（1）证OD⊥DE即可。（2）cosE=【解析】试题分析：如图，在△ABC中，AB＝BC，以AB为直径的⊙O与AC交于点D，过D作DF⊥BC，交AB的延长线于E，垂足为F．连结OD。易

4、知OA=OD=r，且AB＝BC，∴∠OAD=∠ODA=∠C所以OD∥CB。所以∠ODE=∠BFE=90°。所以OD⊥DE，垂足为D。所以直线DE是⊙O的切线。(2)当AB＝5，AC＝8时，求cosE的值．解：连结BD。由（1）知OD⊥DE，又因为∠ADB=90°（直径所对圆周角）所以∠ADO+∠ODB=∠ODB+∠BDE。因为OD∥CB，则∠ODB=∠DBO=∠DBF所以Rt△ADB∽Rt△DFB。则，已知AB=BC，BD⊥AC。所以AD=AC=4.所以在Rt△ADB中，BD=3.故3×3=5×BF，解得BF=。易知Rt△EDO∽Rt△EFB则，解得BE=所以在Rt△EFB中

5、，cosE＝考点：圆及相似三角形等点评：本题难度较大，主要考查学生对圆的切线问题与三角形相似判定与性质的掌握。为中考常考题型要牢固掌握。2．解：（1）证明：连接OB，∵AC是⊙O直径，∴∠ABC=90°。∵OC=OB，∴∠OBC=∠ACB。∵∠PBA=∠ACB，∴∠PBA=∠OBC。∴∠PBA+∠OBA=∠OBC+∠ABO=∠ABC=90°。∴OB⊥PB。∵OB为半径，∴PB是⊙O的切线。（2）设⊙O的半径为r，则AC=2r，OB=R，∵OP∥BC，∠OBC=∠OCB，∴∠POB=∠OBC=∠OCB。∵∠PBO=∠ABC=90°，∴△PBO∽△ABC。∴，即，解得。∴⊙O的半

6、径为。【解析】试题分析：（1）连接OB，求出∠ABC=90°，∠PBA=∠OBC=∠OCB，推出∠PBO=90°，根据切线的判定推出即可。（2）证△PBO和△ABC相似，得出比例式，代入求出即可。　3．解：（1）证明：∵BD=BA，∴∠BDA=∠BAD。∵∠BCA=∠BDA（圆周角定理），∴∠BCA=∠BAD。（2）∵∠BDE=∠CAB（圆周角定理），∠BED=∠CBA=90°，∴△BED∽△CBA，∴。∵BD=BA=12，BC=5，∴根据勾股定理得：AC=13。∴，解得：。（3）证明：连接OB，OD，在△ABO和△DBO中，∵，∴△ABO≌△DBO（SSS）。∴∠DBO=∠

7、ABO。∵∠ABO=∠OAB=∠BDC，∴∠DBO=∠BDC。∴OB∥ED。∵BE⊥ED，∴EB⊥BO。∴OB⊥BE。∵OB是⊙O的半径，∴BE是⊙O的切线。【解析】试题分析：（1）根据BD=BA得出∠BDA=∠BAD，再由圆周角定理∠BCA=∠BDA即可得出结论。（2）判断△BED∽△CBA，利用对应边成比例的性质可求出DE的长度。（3）连接OB，OD，证明△ABO≌△DBO，推出OB∥DE，继而判断OB⊥DE，可得出结论。4．解：（1）证明：连接OC，∵PD为圆O的切线，∴OC⊥PD。∵BD⊥PD，