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1、1.2.2同角三角函数的基本关系课堂实录农八师石河子高级中学数学组——肖蕾教材分析普通高中课程标准实验教科书人教版A必修（4）同角三角函数基本关系式是学习三角函数定义后，安排的一节继续深入学习的内容，是求三角函数值、化简三角函数式、证明三角恒等式的基本工具，是整个三角函数的基础，在教材中起承上启下的作用。同时，它体现的数学思想与方法在整个中学数学学习中起重要作用。学情分析我的学生从认知角度上看，已经能掌握了三角函数定义的两种推导方法，从方法上看，学生已经对数形结合，猜想证明有所了解。从学习情感方面看，大部分学生愿意主动学习。从能力上看，学生的学习基础较弱，主动
2、学习能力、探究的能力较弱三维目标知识与技能目标1.能根据三角函数的定义导出同角三角函数的基本关系式；2.掌握两种基本关系式之间的联系；3.熟练掌握已知一个角的三角函数值求其它三角函数值的方法。过程与方法目标培养学生由特殊结论-----猜想一般规律-----进行严格证明的科学思维方式；通过用单位圆推导公式培养学生用数形结合思想处理数学问题的能力；通过例题与练习提高学生动手能力和分析解决问题的能力。情感与态度目标培养学生积极参与大胆探索的精神；让学生通过自主学习体验学习的成就感,培养学生学习数学的兴趣和信心。重点难点教学重点:课本的三个公式的推导及应用.教学难点:
3、课本的三个公式的推导及应用.课时安排2课时，第一课时教学过程导入新课复习引入：任意角的三角函数（板书）一）我们可以利用单位圆定义任意角的三角函数.如图所示,设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么:(1)y叫做α的正弦,记作sinα,即sinα=y;(2)x叫做α的余弦,记作cosα,即cosα=x;(3)叫做α的正切,记作tanα,即tanα=(x≠0).所以,正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数,我们将它们统称为三角函数.二）利用三角函数定义我们判断出三角函数符号规律：一全正,二正弦,三正切,四余
4、弦”.三）填写下列表格，通过表格你能发现什么规律吗？你发现了_______________________________学生：老师：很好，这两个规律中说明两点，第一，是同一个角所用的公式；第二，是任意角的关系。我们通过几何画板演示来体会那个点。判断下列式子是否成立?下列四个命题中可能成立的一个是（）活动:同角三角函数的基本关系学生应熟练掌握,先让学生接触比较简单的应用问题,明确和正确地应用同角三角函数关系.可以引导学生观察与题设条件最接近的关系式是sin2α+cos2α=1,故cosα的值最容易求得,在求cosα时需要进行开平方运算,因此应根据角α所在的象限
5、确定cosα的符号,在此基础上教师指导学生独立地完成此题.（学生甲）解:因为sin2α+cos2α=1,所以cos2α=1-sin2α=1-()2=.又因为α是第二象限角,所以cosα<0.于是cosα==,从而tanα==×()=（学生乙）解：如图所示由任意角三角函数定义又P点在第二象限所以从而tanα==×()=.点评：这个方法很好，计算又简单。（学生丙）解：由三角函数定义设由勾股定理得，α是第二象限角从而tanα==点评：方法很好，但缺一点严谨性。比如我可以取还可以取等等。在这里怎样做更好。学生：老师：可以，但有一点大家忘了，r要取正。学生：t>0设由勾
6、股定理得α是第二象限角从而tanα==老师：这样做就完美了！以上的方法都很好，不管是什么方法，同学们都注意到1）已知三角函数的其中一个，就可以求出其它两个三角函数，这就是“知一求二”；2)三角函数值的取值与角的范围有关系，所以要先定象后定值。我们再来看看对于这道题我去掉其中的一个条件，怎么做？学生:要分类讨论。（学生丁）解：因为sin2α+cos2α=1,所以cos2α=1-sin2α=1-()2=.∴在第一或二象限角.当在第一象限时，即有于是cosα==,从而tanα==×=.当在第二象限时，即有于是cosα==,从而tanα==×()=.（学生）解：如图所
7、示由任意角三角函数定义又P点在第一或第二象限∴在第一或二象限角.当在第一象限时，即有于是cosα==,从而tanα==×=.当在第二象限时，即有于是cosα==,从而tanα==×()=.（学生）解：设又P点在第一或第二象限∴在第一或二象限角由勾股定理得当在第一象限时，从而tanα==α是第二象限角，从而tanα==学而时习之：本节课你收获了什么？小结：学生：(一)同角三角函数的基本关系式:平方关系:商数关系:(二)公式的应用:知一求二:由一个角的某一三角函数值求出其它的两个三角函数值；(三)数学思想方法:①分类讨论；②方程(组)的思想．总结：1.已知一个角的
8、某一个三角函数值，便可运用基本关系式求
