浅谈恒成立问题的解题方法论文

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1、浅谈恒成立问题的解题方法论文.freelx2-2x+1-m0对于满足

2、m

3、≤2的一切实数m的值都成立，求x的取值范围。分析：若本题改为“不等式mx2-2x+1-m0对于任意的实数x恒成立，求m的取值范围”.freel看成是参数，求解确实困难。但如果我们能够换位思考，变换主元，将m看成自变量，x看成是参数，将原不等式变形为（x2-1）m+1-2x0，这样就可以将问题转化为关于m的一元一次不等式来求解，则问题可迎刃而解。解：原不等式转化为（x2-1）m+1-2x0，记f（m）=（x2-1）m+（1-2x），其中-2≤m≤2。根据题意得

4、说明：本题将m视为主变量，则f（m）的图像是一条线段，即f（m）为一次函数，可利用一次函数的单调性求解。二、巧用等号例2、已知二次函数f（x）=ax2+bx+c的图像过点（-1，０），问是否存在常数a、b、c使得对于任意的x，不等式x≤f（x）≤（1+x2）恒成立？分析（一）：本题也为恒成立问题，需将不等式x≤f（x）≤（1+x2）看成“对于任意的x，x≤f（x）与f（x）≤（1+x2）同时恒成立”，故需两次利用恒成立思想来求解。解：由题意知：对于任意的x，x-f（x）≤0与f（x）-（1+x2）≤0恒成立，即ax2+（b-1）x

5、+c≥0……（1）与x2+bx+c-≤0……（２）恒成立。又函数f（x）=ax2+bx+c的图像过点（-1，0），故a-b+c=0，即a+c=b。所以a=c，2（a+c）-1=0。所以存在常数a=c=、b=满足题意。分析（二）：如果我们能观察不等式x≤f（x）≤（1+x2）的特征，巧妙利用其中的两个等号，则问题将会变得简单得多。解：因为函数f（x）=ax2+bx+c的图像过点（-1，０），故a-b+c=0……（１）。当x=1时，1≤f（1）=a+b+c≤1，所以a+b+c=1……（2）。由（１）、（２）得：b=，a+c=，所以f（

6、x）=ax2+x+-a。又因为x-f（x）≤0对于任意的x恒成立，所以ax2-x+-a≥0恒成立。所以存在常数满足题意。说明：在第二种方法中，我们是通过利用不等式中的等号，快速简单地求出从而达到化简解题过程的目的。三、利用最值例3、定义在（-∞，3上的减函数f（x）使得f（a2-sinx）≤f（a+1+cos2x）对一切x∈R成立，求实数a的取值范围。分析：本题可先利用函数的单调性去掉对应法则f，得a+1+cos2x≤a2-sinx≤3，再利用恒成立知识去求解，其中用到了函数的最值思想。解：由题意知只要a+1+cos2x≤a2-s

7、inx≤3恒成立。由a+1+cos2x≤a2-sinx，得a2-a-≥-（sinx-）2。由a2-sinx≤3得a2-3≤sinx。说明：“f（a）≤g（x）或f（a）≥g（x）对于给定区间上的一切x恒成立”问题，实际上最终可转化为求函数在给定区间上的最小值或最大值问题，即f（a）≤gmin（x）或f（a）≥gmax（x），然后再解相应的不等式即可。其中也用到了分离常数这一思想。四、数形结合例4、若不等式x2-logax0在区间（0，）内恒成立，求实数a的取值范围。分析：本题为超越不等式，其中既有二次函数，又有对数函数，因此难以用

8、常规方法来求实数a的取值范围。将不等式x2-logax0转化为x2logax在区间内恒成立，因此可以考虑画出函数f1（x）=x2与f2（x）=logax的图像，然后观察当a为何值时函数f1（x）=x2的图像在恒在f2（x）=logax图像的下方。