浅谈恒成立问题

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1、浅谈恒成立问题长沙县三中李铁近几年来，恒成立问题成为了高三复习迎考训练与高考的一个热点，它涉及到一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、圆锥曲线的性质、图象,渗透着分类讨论、化归于转化、数形结合、函数与方程等数学思想与方法，能充分的考查了学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。本文试图探索几种重要的恒成立问题的解答技巧与策略。构造函数、区间最值求解1斗〃4工例设/(X)=lg，其中6ZW/?，如果XG(-0C.1)时，/(兀)恒有意义，求Q的取值范分析：如果xg(-oo.I)时，

2、./'(兀)恒有意义，则可转化为1+2”+°4“〉0恒成立，1+才即参数分离后G〉-==_(2一02亠)，xe(-oo.l)恒成立，接下来可转化为二4'次函区间最值求解。解:如果XG(-OO.l)时，于⑴恒有意义01+2+0〉0,对XG(-OO,1)恒成立.1+”<=>a>=—(2一，+2'2x)xg(-00.1)恒成立。4X令22^,g(r)=_(r+/2)Xxg(-oo.I)则虫(丄,+8)・・.a>g(/)对虫(丄,+oo)恒成1133立，又・・・g(/)在/w［亍+00)上为减函数，g⑴max=g(-

3、)=--,:.a>--o例2、设函数是定义在(-□0,+00)上的增函数,如果不等式/(l-at-x2)l-ax-x2<2-a对于任意xe[0,1]恒成立ox2+ax+l-a>0对于任意xg[0,1]恒成立，令g(x)=

4、x2-^-ax+l-a,xg[0,1],”g(0),a>Q所以原问题Og(Q「in>0,又=02g⑴斷=<-^-~a+l-2

5、时，不等式a+cos2x<5-4sinx恒成立u>・a+5>(4sinx+cos2x)nviv*IllciX设f(x)=4sinx+cos2x则f(x)=4sinx+cos2x=-2sin2x+4sinx+1=-2(sinx-1)2+3<3二・a+5>3a<2方法二)题目中出现了sinx及cos2x,而cos2x=1-2sin2x,故若采用换元法把sinx换元成t,则可把原不等式转化成关于t的二次不等式，从而可利用二次函数区间最值求解。解：不等式a+cos2x<5-4sinx可化为a+1-2sin2x<5-4

6、sinx,令sinx二t,则te[-1,1],.・.不等式a+cos2x<5-4sinx恒成立o2t2-4t+4-a>0,te[-1,1]恒成立。设f(t)=2P-4t+4-a，显然f(x)在卜1,1]内单调递减,f(t)min=f(1)=2-a,/.2-a>0/.a<2数形结合、特值探求例4、设f(x)=x2-2ax+2,Sxg[-1,+oo)时，都有f(x)>a恒成立，求a的取值范分析：在f(x)>a不等式中，若把a移到等号的左边，则原问题可转化为二次函数区间恒成立问题。解：设F(x)=f(x)-a=x2

7、-2ax+2-a・i)当A=(-2a)M(2-a)=4(a-1)(a+2)<0时，即-20/(-D>0(Q-1)(°+2)>0即va+3noa<-1,W-3

8、关系通过特指求解a的取值范围。解：设Ti：/(x)=(x-1)2,T2：g(x)=logflx,则Ti的图象为右图所示的抛物线，要使对一切xe(1,2),/⑴vg(兀)恒成立即Ti的图象一定要在T2的图象所的下方，显然a>1,并且必须也只需g(2)〉/(2)故loga2>1,a>1,.1