浅谈高中数学中恒成立问题

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1、浅谈高中数学中恒成立问题在高中数学学习中我们经常会遇到一类题型—叵成立问题.它们以函数知识为载体，涉及一次函数、二次函数的性质、图像，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法.恒成立问题是高中数学学习中的热点问题.下面笔者以这类问题为蓝本，对它进行解析，供同学们在学习中参考.一、恒成立问题的基本类型类型1:设f(x)=ax+bx+c(oHO),(1)f(x)>0在xUR上恒成立？圳a>0且A0时，f(x)>0在x丘［a，B］上恒成立?圳-0或B△>0或-〉Bf(B)>0,f(x)O在xW［a,B］上恒成立f(a)>0f(0)>

2、0,f(x)0或aW-WBABf(B)Q对一切x^I恒成立？圳f(x)>af(x)a・类型4：f(x)>g(x)对一切xWI恒成立？圳f(x)的图像在g(x)的图像的上方或f(x)>g(x),xWI.对于在区间D上求函数f(x)的最大值或者最小值问题,我们可以采取合理有效的方法进行求解，通常可以考虑利用函数的单调性、函数的图像、二次函数的配方法、三角函数的有界性、均值定理、函数求导等方法求函数f(X)的最值.二、恒成立问题在解题过程中常见以下题型(-)构造一次函数法•若原题可化为一次函数型，则由数形结合思想利用一次函数知识求解，十分简

3、捷.给定一次函数y=f(x)二ax+b(aHO),若y=f(x)在［m,n］内恒有f(x)>0,则根据函数的图像(直线)可得上述结论等价于f(m)>0f(n)>0同理，若在［m,n］内恒有f(x)2a+x恒成立的x的取值范围.分析：在不等式中出现了两个字母：x及a,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数•显然可将a视作自变量，则上述问题即可转化为在［-2,2］内关于a的一次函数大于0恒成立的问题.解:原不等式转化为(x-1)a+x-2x+l>0在

4、a

5、W2时恒成立.设f(a)=(x-1)a+x-2x+l,贝!］f(a)在［

6、-2,2］上恒大于0,故有：f(-2)>0f(2)>0即x-4x+3>0x-l>0,解得：x>3或xl或x3,即xG(-°°,-1)U(3,+°°).此类题本质上是利用了一次函数在区间［m,n］上的图像是一线段，故只需保证该线段两端点均在x轴上方(或下方)即可.(二)构造二次函数法.涉及二次函数的问题是复习的重点，同学们要加强学习、归纳、总结，提炼出一些具体的方法，在今后的解题中自觉运用.(1)若二次函数y=ax+bx+c(aHO)大于0恒成立，则有a>0且△0,△=(a-l)2-4(a-1)WO时，有a>la-10a+9W0?圮1综

7、上所述，f(x)的定义域为R时，aG[l,9],在解决函数在给定区间上求参数取值范围问题时利用二次函数型判别式法解决有时并不是最好的方法，我们还可以选择更为简洁方便的方法一一分离参数法.(三)分离参数法•若在等式或不等式中出现两个变量,其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解.例3：已知当xWR时，不等式a+cos2x3即〉a-2；上式等价于a-2205a-4205a-4>(a-2)或a-2