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《剖析全国高中数学中的恒成立问题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、剖析高中数学中的恒成立问题三个同学对问题“关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围”提出各自的解题思路．甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”．乙说：“把不等式变形为左边含变量的函数，右边仅含常数，求函数的最值”．丙说：“把不等式两边看成关于的函数，作出函数图像”．参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，求的取值范围.解析：关键在于对甲，乙，丙的解题思路进行思辨，这一思辨实际上是函数思想的反映.设.甲的解题思路，实际上是针对两个函数的，即把已知不等式的两边看作两个函数，设其解法相当于
2、解下面的问题：对于,若恒成立,求的取值范围.所以，甲的解题思路与题目,恒成立,求的取值范围的要求不一致.因而,甲的解题思路不能解决本题.按照丙的解题思路需作出函数的图象和的图象,然而,函数的图象并不容易作出.由乙的解题思路,本题化为在上恒成立,等价于时,成立.由在时,有最小值,于是,.这就是高中数学中的恒成立问题。新课标下的高考越来越注重对学生的综合素质的考察，恒成立问题便是一个考察学生综合素质的很好途径，它主要涉及到一次函数、二次函数等函数的性质、图象，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，在
3、培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。这三年的数学高考中频频出现恒成立问题，其形式逐渐多样化，但都与函数、导数知识密不可分。矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。解决高考数学中的恒成立问题常用以下几种方法：①函数性质法；②主参换位法；③分离参数法；④数形结合法。下面我就以近三年高考试题为例加以剖析：聞創沟燴鐺險爱氇谴净。一、函数性质法1、二次函数：①.若二次函数（或）在R上恒成立，则有最值（或判别式）；②.若二次函数（或）在指定区间上恒成立，可以利用求最值和韦达定理以及根的分布等知识求解。残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。利
4、用最值：；利用韦达定理以及根的分布等知识求解。例1：已知不等式 在区间［2,3］上恒成立，求实数m的取值范围。【分析】有哪些方法？答案：1.（1）若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围；（2）若关于的不等式的解集不是空集，求实数的取值范围．酽锕极額閉镇桧猪訣锥。1.（1）设.则关于的不等式的解集为在上恒成立,即解得（2）设.则关于的不等式的解集不是空集在上能成立,即解得或.7.已知函数，，.若，且存在单调递减区间，求a的取值范围；例2（09年江西卷文17）设函数．（1）对于任意实数，恒成立
5、，求的最大值。解析：(1),对,,即在上恒成立,,得，即的最大值为。2、其它函数：（规律总结）恒成立（注：若的最小值不存在，则恒成立的下界大于0）；恒成立（注：若的最大值不存在，则恒成立的上界小于0）.彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。例3（07年重庆卷理20)已知函数在处取得极值，其中、为常数.（1）试确定、的值；（2）讨论函数的单调区间；（3）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围。分析：恒成立，即，要解决此题关键是求，。解：（1）（2）略（3）由（2）知，在处取得极小值，此极小值也是最小值.要使恒成立，只需.即，从
6、而.解得或.的取值范围为.例4（08天津文21）．设函数，其中．（Ⅲ）若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围．（节选）分析：，即，，，要解决此题关键是求。解：（Ⅲ）由条件可知，从而恒成立．当时，；当时，．因此函数在上的最大值是与两者中的较大者．为使对任意，不等式在上恒成立，当且仅当，即，即在上恒成立．即，所以，因此满足条件的的取值范围是．例5（09年全国卷II文21）设函数，其中常数（II）若当时，恒成立，求的取值范围。（节选）分析：利用导数求函数的最值，由恒成立条件得出不等式条件从而求出的范围。解：
7、（II）由（I）知，当时，在或处取得最小值。謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。；则由题意得即解得。二、主参换位法某些含参不等式恒成立问题，在分离参数会遇到讨论的麻烦或者即使能容易分离出参数与变量，但函数的最值却难以求出时，可考虑变换思维角度。即把主元与参数换个位置，再结合其它知识，往往会取得出奇制胜的效果。厦礴恳蹒骈時盡继價骚。例6（07辽宁卷文科22)已知函数，，且对任意的实数均有，.(Ⅰ)求函数的解析式；(Ⅱ)若对任意的，恒有，求的取值范围.解析：(Ⅰ)，，而，恒成立.则由二次函数性质得，解得，，。（Ⅱ）.令，则即
8、.由于，则有.解得.所以的取值范围为。例7(08安徽文科20)．已知函数，其中为实数．（Ⅱ）已知不等式对任意都成立，求实数的取值范围．（节选）分析：已知参数的范围，要求自变量的范围，转换主参元和的位置，构造以为自变量作为参数的一次函数，转换成，恒成立再求解。茕桢广鳓鯡选块网羈泪。解析：由题设知“对都成立，即对都成立。设（），则是一个以为自变量的一次函数。恒成立，则对，为上的单调递增函数。所以对，恒成立的充分必要条
