高中数学中恒成立问题的探究.pdf

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1、数学·专题探讨高中数学中恒成立问题的探究责州罗句县第一中学(550100)吴丹丹高中数学中的恒成立问题，涉及诸多数学知识和思恒成立，则实数k的取值范围是．想方法，如与函数、方程、导数不等式等进行综合，涉及解：画出Y一l+1I和Y。一kx的图像，即可看出换元、化归、数形结合、函数与方程的思想方法，此类问O≤尼≤1．题有利于提升学生的综合解题能力，对培养学生思维的J’灵活性和深刻性有显著作用．因此，历年来是高考命题．的热点．如何更好地解决这类问题?以下归纳几种常用方法．＼／。．’一0、数形结合法把所求问题，进行合理

2、变形后，在同一坐标系中画出函数图像，利用图像的位置关系，直观得出结论，这种二、构造函数法“以形助数”的方法，有时很有效．构造函数，利用函数的单调性解决问题．0【典型例31(2013年辽宁高考题)(1)证明：当E【典型例1】已知函数厂()一z(1眦+昔)，g(z)一々[o，1]时，z≤sinx~x；(2)若不等式nz+zz+等+2(卫詈+x(aER)，若g()≥厂()恒成立，求口的取值范+2)COSX≤4，对E[o，1]恒成立，求实数a的取值范围．围．分析：要使g()≥，()恒成立，即詈。≥l眦+1证明：(1)记

3、F(z)一sim=一z，则F，(z)一c。缸一在区间(0，+00)2-恒成立，可转化为函数(z)一号一9’1在轴右侧的图像总在()一lnz的图像上方．当xEEo，]时，F(z)>0，F(z)在[0，号]上是增如图，作出函数厂(z)和()Y函数；的图像，使它们在(O，+oo)有且只有一个公共点，同时满足h(z)to当xE(号，1)时，F(z)<0，F(z)在[号，132-~的图像总在(z)的图像上方，则：函数，又F(O)一0，F(1)>O．在公共点Q处，有共同的切线z．．一手所以当xEEo，1]时，F()≥0，即

4、sinx≥，n．设公共点Q(z。，Y。)，则曲线(z)一ln：c在点Q处的一切线方程为Y—lnx。一÷(x-记H()一sinx—z，则当zE(0，1)时，H(z)一co一1

5、osz一2(z+2)si眦当a≥号时，函数^()的图像总在(z)图像的上记G()一／()，则G，(z)：==2+3～4si～2(z+2)COSX，方．故所求口的取值范围是[昔，+。。)．’厶当xE(0，1)时，co髓>去，因此G，()<2+3x-4评点：由此可看出，变形后可化为基本初等函数，可考虑利用图像来解，解题时思路始于边界处．数形结合×一(+2)一(2—2V2)Iz<0法是一种重要的数学思想方法，其要点是“见数想形，以形助数”，它是解含参数不等式恒成立问题的一种重要于是厂(z)在[o，1]是减函数，因此，

6、当z∈(0，1)方法．时，厂(z)<厂(0)一口+2，故当n≤一2时，厂(z)≤o，从【典型例2】如果对任意实数z，不等式I+1l≥愚z而(z)在[0，1-]2_是减函数，所以，()≤(0)一O，即当35E-mail：z】‘jxeklk@163．com,数学·专题探讨n≤一2时，原不等式恒成立．a>2时，原不等式不成立rg(0)(n，>O)(略)．又gz)一{g(一号)(一2≤a≤o)评点：转化为函数问题后，利用导数讨论单调性从而得出结论．l2(n<一2)r1一口(口>0)【典型例4】已知不等式_+++⋯+即g

7、z一{一一a+c—z≤n≤。，>1o＆(a-1)十号对于一切大于1的自然数都成【2(a<-2)立，求实数n的取值范围．易求得口<1．分析：左式不能化成关于的解析式，但可看成关故实数口的取值范围是(一∞，1)．于的函数，求厂(，z)的最小值大于右边即可．评点：抽象函数问题一般都是利用相关性质，化为具体函数来解，体现了分类讨论思想．令，(，z)一l_++⋯+(∈N，≥2)三、分离变量法当≥2，72C-N时含参数的不等式恒成立问题，当参数较容易分离出厂(+1)一f()一1+寿一一来，可以把它移到一边，另一边含其他变量

8、，利用求函数的最值从而得解．丽>o【典型例7】已知，(z)"=ax-ll1．Z，若，()>1在(1，+。。)上恒成立，求实数n的取值范围．I．．，(2)<厂(3)<(4)⋯<厂()，-．．，(n)TTlin===，(2)一1．17解：由题意，不等式l。＆(a-1)+詈恒成立，则1