浅谈不等式恒成立问题

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1、浅谈不等式恒成立问题中心摘要近几年在数学高考试题中经常遇到不等式恒成立问题。在05年高考辽宁、湖北及天津等省均出现此类题型。本文根据高考题及高考模拟题总结了四种常见的解决不等式恒成立问题的方法。法一：转换主元法。适用于一次型函数。法二：化归二次函数法。适用于二次型函数。法三：分离参数法。适用于一般初等函数。法四：数型结合法。中文关键词“不等式”，“恒成立”在近些年的数学高考题及高考模拟题屮经常出现加成立问题，这样的题目一般综合性强，可考查函数、数列、不等式及导数等诸多方血的知识。同时，培养学牛分析问题、解决问题、综合驾驭知识的能力。下而结合例

2、题浅谈恒成立问题的常见解法。1、用一元二次方程根的判别式d=0Z不等式ax2+bx+c>0对一切xg/?成立ob=0或],八[A=b2-4ac<0c>01a=0<不等式a/+hx+c<0对任意xg旦成立ovb=0或」c[A=b2-4ac<0c<01例：若不等式(加一1)兀2+(加_1)兀+2〉0的解集是R,求m的范围。解析：要想应用上面的结论，就得保证是二次的，才冇判别式，但二次项系数含冇参数m,所以要讨论iml是否是0。解：(1)当m-l=0吋，元不等式化为2>0恒成立，满足题意；(m-1>0(2)m-1^0时，只需彳,,所以，/ne[1,

3、9)o[A=(m-1)2-8(m-l)<0例：若关于%的不等式ax2+2x+2>0在/?上恒成立,求实数a的取值范围.解：当a=0时,不等式2x+2>0解集不为/?,故d=0不满足题意;当。工0时,要使原不等式解集为心只需f2>0，解得。〉-22-4x2a<02综上，所求实数。的取值范围为(*,+00)例：不等式a/+4x+tz>l-2x2对一切xwR恒成立，求实数a的取值范围.解：不等式q，+4x+°〉1-2/对一切兀wR怛成立，即(d+2)〒+4x+a-1〉0对一切兀wR恒成立若a+2=0,显然不成立若°+2h0,则卩+2>°・・・°>2

4、[A<0例1.已知函数y=lg[x2+(a-l)x+a2]的定义域为R,求实数。的取值范围。解：由题设可将问题转化为不等式，+@一1)兀+°2〉o对xG/?

5、h成立，即有A=(6z-1)2-4a2<0解得°<一1或0>-o所以实数。的取值范围为(-8,-1)U(-,+切o3.(2009江西卷文)设函数f(x)=x3--x2+6x-a.(1)对于任意实数兀，恒成立，求加的最大值；(2)若方程f(x)=O有且仅有一个实根，求°的取值范围.解析：(1)f(兀)=3兀2—9兀+6=3(兀一1)(兀一2),因为xg(-oo,+oo),/(x)>m,即3

6、兀2-9兀+(6-加)怛成立，所以A=81-12(6-/n)<0,得m<,即加的最大值为-°44(2)因为当兀vl时，/'(x)>0；当lv兀<2时,/'(x)<0；当兀>2时,f⑴>0；所以当“1时,/(兀)取极大值/(1)=

7、-^；当"2时JS)取极小值/(2)=2-«；故当/(2)>0或/⑴vO时，方程f(x)=0仅有一个实根•解得a<2或°〉仝•21变换主元法确定题目中的主元，化归成初等函数求解。此方法通常化为一次函数。在解含参不等式吋，有时若能换一个角度，变参数为主元，可以得到意想不到的效果，使问题能更迅速地得到解决。变更主元(即关

8、于某字母的一次函数)-…(已知谁的范围就把谁作为主元);在给出的含有两个变量的不等式小，学生习惯把变量兀看成是主元(未知数)，而把另一个变量。看成参数，在冇些问题中这样的解题过程繁琐。如果把已知取值范围的变量作为主元，把要求取值范围的变量看作参数，则可简化解题过程。用一次函数的性质对于一次函数.f(x)=kx+b,天丘[m,n]有：/(X)>0恒成立o/(加)>°/(«)>0,/(%)<0恒成立o/(加)<0/⑷<0例1：若不等式2x-l>m(x2-l)对满足一2

9、l)<0it!f(iTi)=(x2—1)m—(2x—1)(—20[2x2-2x-l<0-1+771+73解之：得X的取值范围为—0恒成立，求兀的取值范围。分析：题中的不等式是关于x的一元二次不等式，但若把d看成主元，则问题可转化为一次不等式(兀一2)a+兀$—4兀+4>0在aw[-1,1]上恒成立的问题。解:令f(a)=(x-2)a+〒一4兀+4,则原问

10、题转化为f(a)>0恒成立(ae[-1,1])。当x=2时，可得/⑺)=0,不合题意。当xh2时，应有解Z得xvl或兀>3。1/(-1)>0故x的取值范围为(-00