浅谈不等式恒成立问题的解法策略

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1、浅谈不等式恒成立问题的解法策略不等式恒成立问题是高考热点题型之一，此类考题往往涉及血广，题目难度大，综合性强，解决此类问题所需的数学方法、思想较多，是考查学生综合能力的重耍问题，现将其常用解题策略归纳、解析如下：一、转化法很多的恒成立问题都能从“比最大值还大，比最小值还小”的角度来理转化，故往往在求相应部分的最大值或者最小值之后，问题也就迎刃而解了。举例如下：例1、设函数f(x)=,对于任意实数x,f?(x)2m恒成立，求m的最大值。解法：f?(x)=3x2-9x+6=3(x-1)(x~2)因？?xW

2、(-8,+oo),f?(x)2m恒成立，所以xW(-8,+°°),mW3x2-9x+6恒成立设g(x)=3x2~9x+6=因为xU(-8,+8),所以g(x)的最小值为,即m的最大值为分析：这题将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，从“比最小值还小”的角度得出参数的范围。但有些函数是不存在最值，我们可以类似求最值的方法利用函数的确界解决问题，若无最大值，而有上确界，要求参数a>f(x),则参数a大于等于上界，若无最小值，而有下确界,要求参数a〈f(X),则参数小于等于下界。如：例2：已知函数在区间

3、(1,4)内为减函数，在区间(6,+8)内为增函数，求实数&的取值范围。分析：可应用导数将本题转化成不等式恒成立问题。解法：f?(x)=x2-ax+a-l=(x~l)(x~a+l)•・・f(x)在区间(1,4)内为减函数.♦.xW(1,4)时(x-1)(x~a+l)〈0恒成立，Vx_l>0.•.x-a+lX+l恒成立[V20恒成立,Vx-l>0x_a+l>0恒成立,即a

4、・x+l>7,・・・aW7[]综上述a的取值范围是5WaW7分析：本题属于单调性背景下隐含的不等式恒成立问题，利用导数将函数问题转化为不等式恒成立问题，本题虽不存在最值，我们可以类似求最值的方法利用函数的确界解决问题。二、变换法适当的变换主元，即把习惯上的主元变量与参数的地位交换一下，确定题目中的主元，化归成初等函数求解。此方法通常化为一次函数，这样往往将问题简化。例：设函数f(x)=mx2-mx-6+m,若对mW[-2,2],f(x)〈0恒成立,求实数x的取值范围。解法：设f(x)=mx2-mx-6

5、+m=g(m)则g(m)是关于m的一次函数,且一次项的系数为x2-x+l=,：.g(m)在[-2,2]上递增・・・g(m)<0?g(2)=2(x2-x+l)-6<0?-l0,函数f(x)二(a2-8)x的值恒大于1,求实数。的取值范围。分析：该函数由二次函数和指数函数构造而成。函数t=a2-8是二次函数，图象是抛物线。函数y二tx是

6、指数函数，图象为指数函数的图像，通过图象求解如下：解：因为x〉0,函数f(x)二(a2-8)x的值恒大于1即x>0,y=tx>l恒成立，根据指数函数的图像的t>l恒成立，即a2-8>l恒成立，解得a>3或a<-3即a的取值范围为:a>3或a<-3评注：数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，这充分说明了数形结合思想的妙处，在不等式恒成立问题中它同样起着重要作用。我们知道，函数图象和不等式有着密切的联系。四、判别式法上述例2也可以用判别式法，解法如下：解：f?(x)二3x2-9x+6二3

7、(x-1)(x-2)因为xW(-8,+oo),f?(x)2m恒成立，即3x2-9x+(6~m)20恒成立，设g(x)二3x2-9x+(6~m)所以，得，即m的最大值为综上述，处理不等式恒成立问题的常见方法有：最值法、变换主元法、数形结合法等。但其核心思想还是等价转化，抓住了这点，才能以“不变应万变”，当然这需要我们不断的去领悟、体会和总结。