浅谈不等式恒成立问题 人教版

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1、例谈不等式恒成立问题的解法湖北省秭归县屈原高中张鸿斌443600email:zhb371971921@sina.com近几年在数学高考试题中经常遇到不等式恒成立问题。本文根据高考题及高考模拟题总结了四种常见的解决不等式恒成立问题的方法。下面结合例子分别予以说明：1转换主元法确定题目中的主元，化归成初等函数求解。此方法通常化为一次函数。例1：若不等式2x－1>m(x2-1)对满足－2m2的所有m都成立，求x的取值范围。解：原不等式化为(x2－1)m－(2x－1)<0记f(m)=(x2－1)m－(2

2、x－1)(－2m2)根据题意有：即：解之：得x的取值范围为2化归二次函数法根据题目要求，构造二次函数。结合二次函数实根分布等相关知识，求出参数取值范围。例2：在R上定义运算：xy＝(1－y)若不等式(x－a)(x＋a)<1对任意实数x成立，则()(A)－10对xR恒成立记f(x)=x2-x-a2+a+1则应满足(-1)2-4(-a2+a+1)<0化简得4a2-4a-3<0解得,

3、故选择C。例3：若不等式x2-2mx+2m+1>0对满足0x1的所有实数x都成立，求m的取值范围。解：设f(x)=x2-2mx+2m+1本题等价于函数f(x)在0x1上的最小值大于0，求m的取值范围。(1)当m<0时，f(x)在[0,1]上是增函数，因此f(0)是最小值，解得1时，f(x)在[0,1]上是减函数，因此f(1)是最小值解得m>1综合(1)(2)(3)得注：当化归为二次函数后，自变量是实数集的子集时，应用二次

4、函数知识解决有时较繁琐。此型题目有时也可转化为后面的法3求解。3分离参数法在题目中分离出参数，化成a>f(x)（afmax(x)（a

5、2x+t0在x(-1，1)上恒成立设g(x)=3x2-2x∴tg(-1)即t5例5：设a0为常数，数列｛an｝的通项公式为an＝[3n+(-1)n-1·2n]+(-1)n·2n·a0(nN*)若对任意n≥1，nN*，不等式an>an-1恒成立，求a0的取值范围。解：依题意：[3n+(-1)n-1·2n]+(-1)n·2n·a0>[3n-1+(-1)n-2·2n-1]+(-1)n-1·2n-1·a0化简，得(-1)n·3·2n-1·a0>-·3n-1+(-1)n·2n-1(1)当n=2k-1kN*

6、时a0<·()n-1+设g1(n)=·()n-1+∵g1(n)在nN*时且n=2k-1,kN*时是增函数∴g1(n)的最小值为g1(1)＝∴a0<(2)当n=2kkN*时a0>-·()n-1+设g2(n)=-·()n-1+∵g2(n)在nN*且n=2k,kN*时是减函数∴g2(n)的最大值为g2(2)＝0∴a0>0综上可知00且a1,当x(-1，

7、1)时，不等式x2-ax<恒成立，则a的取值范围解析：不等式x2-ax<可化为ax>x2-画出y1=ax,y2=x2-的图像。由图可看出a<1或1