椭圆的标准方程和几何性质练习题集

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1、椭圆的标准方程和几何性质练习题一1.若曲线ax2+by2=1为焦点在x轴上的椭圆,则实数a,b满足(  )A.a2>b2B.>0,所以0

2、PF1

3、,

4、F1F2

5、,

6、PF2

7、成等差数列,则椭圆方程为(  )A.+=1B.+=1C.+=1D.+=1答案:A设椭圆的标准方程为=1(a>b>0)。由点P(2,)在椭圆上知=1。又

8、PF1

9、,

10、F1F2

11、,PF2

12、成等差数列,则

13、PF1

14、+

15、PF2

16、=

17、2

18、F1F2

19、,即2a=2×2c,又c2=a2-b2,联立得a2=8,b2=63.已知△ABC的顶点B、C在椭圆+y2=1上,顶点A是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在BC边上,则△ABC的周长是(  )A.2    B.6    C.4    D.12答案:C如图,设椭圆的另外一个焦点为F,则△ABC的周长为

20、AB

21、+

22、AC

23、+

24、BC

25、=(

26、AB

27、+

28、BF

29、)+(

30、AC

31、+

32、CF

33、)=4a=4。4.已知椭圆x2+my2=1的离心率e∈,则实数m的取值范围是(  )A.B.C.∪D.∪答案:C在椭圆x2+my2=1中,当0<m<1时,a2=,b2=1,c2=a2

34、-b2=-1,∴e2===1-m,又<e<1,∴<1-m<1,解得0<m<,当m>1时,a2=1,b2=,c2=1-,e2===1-,又<e<1,∴<1-<1,解得m>,综上可知实数m的取值范围是∪。5.已知两圆C1:(x-4)2+y2=169,C2:(x+4)2+y2=9,动圆在圆C1内部且和圆C1相内切,和圆C2相外切,则动圆圆心M的轨迹方程为(  )A.B.C.D.答案:D设圆M的半径为r,则

35、MC1

36、+

37、MC2

38、=(13-r)+(3+r)=16,所以M的轨迹是以C1,C2为焦点的椭圆,且2a=16,2c=8,故所求的轨迹方程为+=16.椭圆(a>b>0)的左

39、、右焦点分别为F1,F2,P是椭圆上的一点,,且PQ⊥l,垂足为Q,若四边形PQF1F2为平行四边形,则椭圆的离心率的取值范围是(  )A.(,1)B.(0,)C.(0,)D.(,1)答案:A设点P(x1,y1),由于PQ⊥l,故

40、PQ

41、=x1+,因为四边形PQF1F2为平行四边形,所以

42、PQ

43、=

44、F1F2

45、=2c,即x1+=2c,则有x1=2c->-a,所以2c2+ac-a2>0,即2e2+e-1>0,解得e<-1或e>,由于0

46、2+y2=4上的点,则

47、PM

48、+

49、PN

50、的最小值为(  )A.5B.7C.13D.15答案:B由题意知椭圆的两个焦点F1,F2分别是两圆的圆心,且

51、PF1

52、+

53、PF2

54、=10,从而

55、PM

56、+

57、PN

58、的最小值为

59、PF1

60、+

61、PF2

62、-1-2=7。8.设F1、F2分别是椭圆+y2=1的左、右焦点,若椭圆上存在一点P,使(+)·=0(O为坐标原点),则△F1PF2的面积是(  )A.4B.3C.2D.1答案:D∵(+)·=(+)·=·=0,∴PF1⊥PF2,∠F1PF2=90°.设

63、PF1

64、=m,

65、PF2

66、=n,则m+n=4,m2+n2=12,2mn=4,∴S△F1PF2

67、=mn=19.已知椭圆C:(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2,若椭圆C上恰有8个不同的点P,使得△F1F2P为直角三角形,则椭圆C的离心率的取值范围是(  )A.(0,)B.(0,]C.(,1)D.[,1)答案:C由题意,问题等价于椭圆上存在四个点P使得直线PF1与直线PF2垂直,所以

68、OP

69、=c>b,即c2>a2-c2,所以a

70、1,0),则·=x0(x0+1)+=+x0+3=(x0+2)2+2.因为

71、x0

72、≤2,所以当x0=2时,·取得最大值为611.在△ABC中,AB=BC,cosB=-.若以A,B为焦点的椭圆经过点C,则该椭圆的离心率为(  )A.B.C.D.答案:C依题意知AB=BC=2c,AC=2a-2c,在△ABC中,由余弦定理得(2a-2c)2=8c2-2×4c2×,故16e2+18e-9=0,解得e=.12.已知F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,A是椭圆上一动点,圆C与F1A的延长线、F1F2的延长线以及线段AF2相切,若M(t,0)为一个切点,则()A.t=2B.t>2

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