椭圆的标准方程和几何性质

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.WORD格式整理..椭圆的标准方程及其几何性质1.椭圆定义：（1）第一定义：平面内与两个定点的距离之和为常数的动点的轨迹叫椭圆,其中两个定点叫椭圆的焦点.当时,的轨迹为椭圆;;当时,的轨迹不存在;当时,的轨迹为以为端点的线段（2）椭圆的第二定义:平面内到定点与定直线(定点不在定直线上)的距离之比是常数()的点的轨迹为椭圆（利用第二定义,可以实现椭圆上的动点到焦点的距离与到相应准线的距离相互转化）.2.椭圆的方程与几何性质:标准方程性质参数关系焦点焦距范围顶点对称性关于x轴、y轴和原点对称离心率准线3.点与椭圆的位置关系:当时,点在椭圆外;当时,点在椭圆内;当时,点在椭圆上;4.直线与椭圆的位置关系直线与椭圆相交;直线与椭圆相切;直线与椭圆相离例题分析：题1写出适合下列条件的椭圆的标准方程：⑴两个焦点坐标分别是(-4,0)、（4，0），椭圆上一点P到两焦点的距离..专业知识分享.. .WORD格式整理..椭圆的标准方程及其几何性质1.椭圆定义：（1）第一定义：平面内与两个定点的距离之和为常数的动点的轨迹叫椭圆,其中两个定点叫椭圆的焦点.当时,的轨迹为椭圆;;当时,的轨迹不存在;当时,的轨迹为以为端点的线段（2）椭圆的第二定义:平面内到定点与定直线(定点不在定直线上)的距离之比是常数()的点的轨迹为椭圆（利用第二定义,可以实现椭圆上的动点到焦点的距离与到相应准线的距离相互转化）.2.椭圆的方程与几何性质:标准方程性质参数关系焦点焦距范围顶点对称性关于x轴、y轴和原点对称离心率准线3.点与椭圆的位置关系:当时,点在椭圆外;当时,点在椭圆内;当时,点在椭圆上;4.直线与椭圆的位置关系直线与椭圆相交;直线与椭圆相切;直线与椭圆相离例题分析：题1写出适合下列条件的椭圆的标准方程：⑴两个焦点坐标分别是(-4,0)、（4，0），椭圆上一点P到两焦点的距离..专业知识分享.. .WORD格式整理..之和等于10；⑵两个焦点坐标分别是（0，－2）和（0,2）且过（,）(3)两个焦点坐标分别是(-3，0)，(3，0)，椭圆经过点(5，0).(4)两个焦点坐标分别是(0，5)，(0，-5)，椭圆上一点P到两焦点的距离和为26.(5)焦点在轴上，与轴的一个交点为P(0，－10)，P到它较近的一个焦点的距离等于2.解：（1）因为椭圆的焦点在轴上，所以设它的标准方程为　　　　所以所求椭圆标准方程为⑵因为椭圆的焦点在轴上，所以设它的标准方程为由椭圆的定义知，＋　　又所以所求标准方程为另法：∵∴可设所求方程，后将点（,）的坐标代入可求出，从而求出椭圆方程..专业知识分享.. .WORD格式整理..(3)∵椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为：∵，2c=6.∴∴∴所求椭圆的方程为：.(4)∵椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为.∴∴所求椭圆方程为：（5）∵椭圆的焦点在轴上，所以可设它的标准方程为：∵Ｐ（０，－１０）在椭圆上，∴＝１０.又∵P到它较近的一焦点的距离等于2，∴－c－（－１０）＝２，故c=8.∴.∴所求椭圆的标准方程是.题2。已知B，C是两个定点，｜BC｜＝6，且的周长等于16，求顶点A的轨迹方程解：以BC所在直线为轴，BC中垂线为轴建立直角坐标系，设顶点，根据已知条件得|AB|+|AC|=10再根据椭圆定义得..专业知识分享.. .WORD格式整理..所以顶点A的轨迹方程为（≠0）（特别强调检验)因为A为△ABC的顶点，故点A不在轴上，所以方程中要注明≠0的条件题3。在△ABC中，BC=24，AC、AB的两条中线之和为39,求△ABC的重心轨迹方程.分析：以BC所在直线为轴，BC的中垂线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，M为重心，则|MB|+|MC|=×39=26.根据椭圆定义可知，点M的轨迹是以B、C为焦点的椭圆，故所求椭圆方程为(≠0)题4。已知轴上的一定点A（1,0），Q为椭圆上的动点，求AQ中点M的轨迹方程解：设动点的坐标为，则的坐标为因为点为椭圆上的点，所以有，即所以点的轨迹方程是题5。长度为2的线段AB的两个端点A、B分别在轴、轴上滑动，点M分AB的比为，求点M的轨迹方程解：设动点的坐标为，则的坐标为的坐标为因为，所以有，即所以点的轨迹方程是题6。已知定圆..专业知识分享.. .WORD格式整理..，动圆M和已知圆内切且过点P(-3，0)，求圆心M的轨迹及其方程分析：由两圆内切，圆心距等于半径之差的绝对值根据图形，用数学符号表示此结论：上式可以变形为，又因为，所以圆心M的轨迹是以P，Q为焦点的椭圆解已知圆可化为：圆心Q(3，0)，，所以P在定圆内设动圆圆心为，则为半径又圆M和圆Q内切，所以，即，故M的轨迹是以P，Q为焦点的椭圆，且PQ中点为原点，所以，，故动圆圆心M的轨迹方程是：题7。△ABC的两个顶点坐标分别是B(0，6)和C(0，-6)，另两边AB、AC的斜率的乘积是-，求顶点A的轨迹方程.选题意图：巩固求曲线方程的一般方法，建立借助方程对应曲线后舍点的解题意思，训练根据条件对一些点进行取舍.解：设顶点A的坐标为.依题意得，∴顶点A的轨迹方程为.说明：方程对应的椭圆与轴有两个交点，而此两交点为（０，－６）与(0，6)应舍去.题8．P为椭圆上的点，且P与的连线互相垂直，求P解：由题意，得＝64，P的坐标为，，，题9．椭圆上不同三点..专业知识分享.. .WORD格式整理..与焦点F(4,0)的距离成等差数列，求证证明：由题意，得＝2题10．设P是以0为中心的椭圆上任意一点，为右焦点，求证：以线段为直径的圆与此椭圆长轴为直径的圆内切证明：设椭圆方程为,()，焦半径是圆的直径，则由知，两圆半径之差等于圆心距，所以，以线段为直径的圆与此椭圆长轴为直径的圆内切题11。已知椭圆的焦点是，Ｐ为椭圆上一点，且｜｜是｜｜和｜｜的等差中项.(1)求椭圆的方程；(2)若点P在第三象限，且∠＝120°，求. 选题意图：综合考查数列与椭圆标准方程的基础知识，灵活运用等比定理进行解题.解：(1)由题设｜｜＋｜｜＝２｜｜＝4∴，2c=2，∴ｂ＝∴椭圆的方程为.（２）设∠，则∠＝60°－θ由正弦定理得：由等比定理得：..专业知识分享.. .WORD格式整理..整理得：故题12.已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，直线y=x+1与椭圆相交于点P和点Q，且OP⊥OQ，|PQ|=，求椭圆方程.解：设椭圆方程为mx2+ny2=1（m>0，n>0），设P（x1，y1），Q（x2，y2），解方程组y=x+1，mx2+ny2=1.消去y，整理得（m+n）x2+2nx+n－1=0.Δ=4n2－4（m+n）（n－1）>0，即m+n－mn>0，OP⊥OQx1x2+y1y2=0，即x1x2+（x1+1）（x2+1）=0，2x1x2+（x1+x2）+1=0，∴－+1=0.m+n=2.①由弦长公式得2·=（）2，将m+n=2代入，得m·n=.②或解①②得m=，m=，n=n=.∴椭圆方程为+y2=1或x2+=1..题13.直线l过点M（1，1），与椭圆+=1相交于A、B两点，若AB的中点为M，试求直线l的方程.解：设A（x1，y1）、B（x2，y2），则+=1，①+=1.②①－②，得+=0.∴=－·.又∵M为AB中点，..专业知识分享.. .WORD格式整理..∴x1+x2=2，y1+y2=2.∴直线l的斜率为－.∴直线l的方程为y－1=－（x－1），即3x+4y－7=0.题14。已知椭圆的中心为坐标原点,一个长轴端点为,短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，直线与y轴交于点P（0，m），与椭圆C交于相异两点A、B，且．（1）求椭圆方程；（2）求m的取值范围．【解题思路】通过，沟通A、B两点的坐标关系，再利用判别式和根与系数关系得到一个关于m的不等式[解析]（1）由题意可知椭圆为焦点在轴上的椭圆，可设由条件知且，又有，解得故椭圆的离心率为，其标准方程为：（2）设l与椭圆C交点为A（x1，y1），B（x2，y2）得（k2＋2）x2＋2kmx＋（m2－1）＝0Δ＝（2km）2－4（k2＋2）（m2－1）＝4（k2－2m2＋2）>0（*）x1＋x2＝，x1x2＝　∵＝3∴－x1＝3x2∴消去x2，得3（x1＋x2）2＋4x1x2＝0，∴3（）2＋4＝0整理得4k2m2＋2m2－k2－2＝0　m2＝时，上式不成立；m2≠时，k2＝，因λ＝3∴k≠0∴k2＝>0，∴－12m2－2成立，所以（*）成立..专业知识分享.. .WORD格式整理..即所求m的取值范围为（－1，－）∪（，1）题15。设x、y∈R，i、j为直角坐标平面内x、y轴正方向上的单位向量，若向量a=xi+（y+2）j，b=xi+（y－2）j，且|a|+|b|=8.（1）求点M（x，y）的轨迹C的方程.（2）过点（0，3）作直线l与曲线C交于A、B两点，设=+，是否存在这样的直线l，使得四边形OAPB是矩形？若存在，求出直线l的方程；若不存在，试说明理由.（1）解法一：∵a=xi+（y+2）j，b=xi+（y－2）j，且|a|+|b|=8，∴点M（x，y）到两个定点F1（0，－2），F2（0，2）的距离之和为8.∴轨迹C为以F1、F2为焦点的椭圆，方程为+=1.解法二：由题知，+=8，移项，得=8－，两边平方，得x2+（y+2）2=x2+（y－2）2－16+64，整理，得2=8－y，两边平方，得4［x2+（y－2）2］=（8－y）2，展开，整理得+=1.（2）∵l过y轴上的点（0，3），若直线l是y轴，则A、B两点是椭圆的顶点.∵=+=0，∴P与O重合，与四边形OAPB是矩形矛盾.∴直线l的斜率存在.设l方程为y=kx+3，A（x1，y1），B（x2，y2），消y得（4+3k2）x2+18kx－21=0.此时，Δ=（18k2）－4（4+3k2）由y=kx+3，+=1，（－21）＞0恒成立，且x1+x2=－，x1x2=－.∵=+，∴四边形OAPB是平行四边形.若存在直线l，使得四边形OAPB是矩形，则OA⊥OB，即·=0.∵=（x1，y1），=（x2，y2），..专业知识分享.. .WORD格式整理..∴·=x1x2+y1y2=0，即（1+k2）x1x2+3k（x1+x2）+9=0，即（1+k2）·（－）+3k·（－）+9=0，即k2=，得k=±.∴存在直线l：y=±x+3，使得四边形OAPB是矩形.椭圆作业班级：______________姓名：____________题16。选择题1.已知F1、F2是椭圆+=1的两个焦点，过F1的直线与椭圆交于M、N两点，则△MNF2的周长为A.8B.16C.25D.32解析：利用椭圆的定义易知B正确.答案：B2.椭圆+y2=1的两个焦点为F1、F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则||等于A.B.C.D.4解法一：（如下图）设椭圆的右焦点为F1，左焦点为F2，过F1垂直于x轴的直线与椭圆在第一象限的交点为P.∵+y2=1，∴a=2，b=1，c=.∴F1（，0）.设P（，yP）代入+y2=1，得yP=，∴P（，），|PF1|=.又∵|PF2|+|PF1|=2a=4，∴|PF2|=4－|PF1|=4－=.3.设F1、F2为椭圆的两个焦点，以F2为圆心作圆F2，已知圆F2经过椭圆的中心，且与椭圆相交于M点，若直线MF1恰与圆F2相切，则该椭圆的离心率e为A.－1B.2－C.D...专业知识分享.. .WORD格式整理..解析：易知圆F2的半径为c，（2a－c）2+c2=4c2，（）2+2（）－2=0，=－1.答案：A1.已知为椭圆上的一点，分别为圆和圆上的点，则的最小值为（）A．5B．7C．13D．15[解析]B.两圆心C、D恰为椭圆的焦点，，的最小值为10-1-2=72.椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A、B是它的焦点，长轴长为2a，焦距为2c，静放在点A的小球（小球的半径不计），从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是OxyDPABCQA．4aB．2(a－c)C．2(a+c)D．以上答案均有可能[解析]按小球的运行路径分三种情况:(1),此时小球经过的路程为2(a－c);(2),此时小球经过的路程为2(a+c);(3)此时小球经过的路程为4a,故选D题17、填空题1.已知为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于A、B两点若，则=______________。[解析]的周长为，=82.如果方程x2+ky2=2表示焦点在y轴的椭圆，那么实数k的取值范围是____________.解析：椭圆方程化为+=1.焦点在y轴上，则>2，即k<1.又k>0，∴0