7.3--二元一次不等式组与简单的线性规划问题

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1、§7.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题1.二元一次不等式表示的区域(1)当B>0时,Ax+By+C>0表示直线Ax+By+C=0的;Ax+By+C<0表示直线Ax+By+C=0的.(2)当B<0时,Ax+By+C>0表示直线Ax+By+C=0的;Ax+By+C<0表示直线Ax+By+C=0的.2.线性规划(1)不等式组是一组对变量x,y的约束条件,由于这组约束条件都是关于x,y的一次不等式,所以又可称其为线性约束条件.Z=Ax+By是要求最大值或最小值的函数,我们把它称为.由于Z=Ax+By是关于x,y的一次解析式,所以又可叫做.另外注意:线性约束条件除了用一次不等式表示外

2、,也可用一次方程表示.(2)一般地,求线性目标函数在线性约束条件下的的问题,统称为线性规划问题.(3)满足线性约束条件的解(x,y)叫做,由所有可行解组成的集合叫做.其中,使目标函数取得最大值或最小值的可行解都叫做这个问题的.线性目标函数的最值常在可行域的边界上,且通常在可行域的顶点处取得;而求最优整数解首先要看它是否在可行域内.(4)用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤:①首先,要根据(即画出不等式组所表示的公共区域).②设,画出直线l0.③观察、分析、平移直线l0,从而找到最优解.④最后求得目标函数的.(5)利用线性规划研究实际问题的解题思路:首先,应准确建立数学模型,即根据题

3、意找出条件,确定函数.然后,用图解法求得数学模型的解,即,在可行域内求得使目标函数.自查自纠:1.(1)上方区域 下方区域 (2)下方区域 上方区域2.(1)目标函数 线性目标函数(2)最大值或最小值(3)可行解 可行域 最优解(4)①线性约束条件画出可行域 ②z=0④最大值或最小值(5)约束 线性目标 画出可行域 取得最值的解下列命题中正确的是(  )A.点(0,1)在区域x-y+1>0内B.点(0,0)在区域x+y+1<0内C.点(1,0)在区域y≥2x内D.点(0,0)在区域x+y≥0内解:将(0,0)代入x+y≥0,成立.故选D.不等式x-2y+6>0表示的区域在直线x-2y+

4、6=0的(  )A.左下方B.左上方C.右下方D.右上方解:画出直线及区域范围知C正确.故选C.()若变量x,y满足约束条件则z=2x+y的最大值是(  )A.2B.4C.7D.8解:画出不等式组的可行域如图阴影部分所示,结合目标函数可知,当直线y=-2x+z经过点A(3,1)时,z取最大值,且为7.故选C.点在直线2x-3y+6=0的上方,则t的取值范围是.解:在2x-3y+6=0的上方,则2×-3t+6<0,解得t>.故填.不等式组表示的平面区域内的整点(横坐标和纵坐标都是整数的点)共有个.解:画出平面区域的图象,可以看出整点有(1,1),(1,2),(2,1),共3个,故填3.类

5、型一 二元一次不等式(组)表示的平面区域 ()记不等式组所表示的平面区域为D,若直线y=a(x+1)与D有公共点,则a的取值范围是________.解:作出题中不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示,∵直线y=a(x+1)恒过定点C(-1,0),由图并结合题意易知kBC=,kAC=4,∴要使直线y=a(x+1)与平面区域D有公共点,则≤a≤4.故填.点拨:①关于不等式组所表示的平面区域(可行域)的确定,可先由“直线定界”,再由“不等式定域”,定域的常用方法是“特殊点法”,且一般取坐标原点O(0,0)为特殊点;②这里的直线y=a(x+1)是过定点(-1,0)且斜率为a的直线系.注意:含一

6、个参数的直线方程都可看成有一个定元素的直线系. ()不等式组表示的平面区域的面积为________.解:不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示,易求得

7、BD

8、=2,C点坐标(8,-2),∴S△ABC=S△ABD+S△BCD=×2×(2+2)=4.故填4.类型二 利用线性规划求线性目标函数的最优解 ()若变量x,y满足约束条件且z=2x+y的最大值和最小值分别为m和n,则m-n=(  )A.8B.7C.6D.5解:作出可行域(如图阴影部分所示)后,结合目标函数可知,当直线y=-2x+z经过点A时,z的值最大,易得A(2,-1),则m=zmax=2×2-1=3.当直线y=-2x+z经过

9、点B时,z的值最小,易得B(-1,-1),则n=zmin=2×(-1)-1=-3.故m-n=6.故选C.点拨:可行域是封闭区域时,可以将端点代入目标函数z=2x+y,求出最大值3与最小值-3,从而得到相应范围.若线性规划的可行域不是封闭区域时,不能简单的运用代入顶点的方法求最优解.如变式2,需先准确地画出可行域,再将目标函数对应直线在可行域上移动,观察z的大小变化,得到最优解. 设x,y满足则z=x+y(  )A.有最小值2,最大值3B.有最小

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