现代通信原理 第3章 随机过程

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1、第3章随机过程3.1随机过程的基本概念和统计特性3.2平稳随机过程3.3平稳随机过程的相关函数与功率谱密度3.4高斯过程3.5窄带随机过程3.6正弦波加窄带高斯过程3.7随机过程通过线性系统3.8平稳随机过程通过乘法器3.1随机过程的基本概念和统计特性通信系统中遇到的信号，通常总带有某种随机性。从统计数学的观点看，随机信号和噪声统称为随机过程。信号和噪声通过通信系统的过程是随机过程。图3-1n部接收机噪声记录随机过程举例1.随机过程通信过程中的随机信号和噪声均可归纳为依赖于时间参数t的随机过程。这种过程的基本特征是，它是时间t的函数，但在任一时刻观察到的

2、值却是不确定的，是一个随机变量。1.随机过程定义：随机过程是依赖于时间参量t变化的随机变量的总体或集合；也可以叫做样本函数的总体或集合。习惯用ξ(t)表示。2.随机过程的统计特性ξ(t)表示一个随机过程，ξ(t1)是一个随机变量。随机变量的统计特性，可以用分布函数或概率密度函数去描述。随机过程的统计特征是通过它的概率分布或数字特征加以表述的。（1）随机过程的一维概率分布函数随机过程ξ(t)的一维概率分布函数随机过程ξ(t)的一维概率密度函数如果存在则称f1(x1,t1)为ξ(t)的一维概率密度函数。(3-1)(3-2)（2）随机过程的n维概率分布函数随机

3、过程ξ(t)的n维概率分布函数随机过程ξ(t)的n维概率密度函数(3-3)(3-4)（3）随机过程的二维概率分布函数随机过程ξ(t)的二维概率分布函数随机过程ξ(t)的二维概率密度函数(3-5)(3-6)（4）随机过程的数字特征数学期望(均值)随机过程的数学期望被认为是时间t的函数。它表示随机过程的n个样本函数曲线的摆动中心。数学期望的物理意义：信号或噪声的直流功率。(3-7a)(3-7b)方差随机过程的方差定义为方差的物理意义：信号或噪声交流功率。(3-8)协方差函数与相关函数衡量随机过程任意两个时刻上获得得随机变量的统计相关特性时，常用协方差函数和相

4、关函数来表示。自协方差函数定义式中t1与t2是任意的两个时刻；a(t1)与a(t2)为在t1及t2得到的数学期望；f2(x1,x2;t1,t2)为二维概率密度函数。用途：用协方差来判断同一随机过程的两个变量是否相关。(3-9)自相关函数定义用途：a.用来判断广义平稳；b.用来求解随机过程的功率谱密度及平均功率。(3-10)自协方差与自相关函数之间的关系(3-11)若a(t1)=0或a(t2)=0，则B(t1,t2)=R(t1,t2)。若t2＞t1，并令t2=t1+τ，则R(t1,t2)=R(t1,t1+τ)。说明：相关函数依赖于起始时刻t1及t2与t1之

5、间的时间间隔τ,即相关函数是t1和τ的函数。互协方差与互相关函数设ξ(t)与η(t)分别表示两个随机过程，则互协方差函数定义为互相关函数定义为(3-12)(3-13)随机过程的统计特性，原则上都与时刻t1，t2…有关。就相关函数而言，它的相关程度与选择时刻t1，t2有关。如果t2>t1，并令t2=t1+τ，即τ是t2与t1之间的时间间隔，则相关函数R（t1，t2）可表示为R（t1，t1+τ）。说明：相关函数依赖于起始时刻（或时间起点）t1及时间间隔τ，即相关函数是t1和τ的函数。小结3.2平稳随机过程1.平稳随机过程狭义平稳：它的任何n维分布函数或概率密

6、度函数与时间起点无关。也就是说，如果对于任意的n和τ，随机过程ξ(t)的n维概率密度函数满足则称ξ(t)是平稳随机过程。该平稳称为严格平稳，狭义平稳或严平稳。(3-14)一维分布：f1(x1,t1)=f1(x1)二维分布：f2(x1,x2;t1,t2)=f2(x1,x2;τ)(3-15)平稳随机过程ξ(t)的均值为常数，这表示平稳随机过程的各样本函数围绕着一水平线起伏。(3-16)(3-17)同样，可以证明平稳随机过程的方差σ2(t)=σ2=常数，表示它的起伏偏离数学期望的程度也是常数。而平稳随机过程ξ(t)的自相关函数R(t1,t2)=E［ξ(t1)

7、ξ(t1+τ)］=仅是时间间隔τ=t2-t1的函数，而不再是t1和t2的二维函数。(3-18)以上表明，平稳随机过程ξ(t)具有“平稳”的数字特征：它的均值与时间无关；它的自相关函数只与时间间隔τ有关，即R(t1,t1+τ)=R(τ)由一个随机过程的均值是常数，自相关函数是τ的函数还不能充分说明它符合严平稳条件。广义平稳概念：若一个随机过程的数学期望及方差与时间无关，而其相关函数仅与τ有关，则称这个随机过程为广义平稳随机过程。一个严平稳随机过程只要它的均方值有界，则它必定是广义平稳随机过程。通信系统中的信号及噪声，大多数可视为平稳的随机过程。因此，研究平

8、稳随机过程有很大的实际意义。2.各态历经性假设x(t)是平稳随机过程ξ(t)的任