(通信原理)第3章随机过程

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1、通信原理第3章随机过程1随机过程基本概念自然界中事物的变化过程可以大致有两类：1.确定性过程其变化过程具有确定的形式。数学上，可以用一个或几个时间t的确定函数来描述。2.随机过程没有确定的变化形式。每次对它的测量结果没有一个确定的变化规律。数学上，这类事物变化的过程不可能用一个或几个时间t的确定函数来描述。随机信号和噪声统称为随机过程。2随机过程的分布函数随机过程定义：设Sk(k=1,2,…)是随机试验。每一次试验都有一条时间波形（称为样本函数），记作xi(t)，所有可能出现的结果的总体{x1(t),x2(t)

2、，…,xn(t)，…}构成一随机过程，记作ξ(t)。假定有n个性能完全相同的接收机，每台接收机的输出信号就是一个样本xi(t)。无穷多个样本函数的总体叫做随机过程。3样本函数的总体（随机过程）4随机过程具有随机变量和时间函数的特点。在进行观测前是无法预知是空间中哪一个样本。全体样本在t1时刻的取值ξ(t1)是一个不含t的变化的随机变量。即在一个固定时刻t1，不同样本的取值xi(t1)是一个随机变量。5随机过程是处于不同时刻的随机变量的集合。设ξ(t)表示一个随机过程，在任意给定的时刻t1其取值ξ(t1)是一个一

3、维随机变量。随机变量的统计特性可以用分布函数或概率密度函数来描述。把随机变量ξ(t1)小于或等于某一数值x1的概率记为F1(x1,t1)，即67同理，任给t1,t2,…,tn∈T,则ξ(t)的n维分布函数被定义为为ξ(t)的n维概率密度函数。称为ξ(t)的一维概率密度函数。如果F1对x1的导数存在，即随机过程的数字特征用数字特征来描述随机过程的统计特性，更简单直观。数字特征是指均值、方差和相关系数。是从随机变量的数字特征推广而来的。8均值（数学期望）：在任意给定时刻t1的取值(t1)是一个随机变量，其均值式中

4、f(x1,t1)－(t1)的概率密度函数由于t1是任取的，所以可以把t1直接写为t，x1改为x，这样上式就变为第3章随机过程(t)的均值是时间的确定函数，常记作a(t)，它表示随机过程的n个样本函数曲线的摆动中心:9a(t)第3章随机过程方差方差常记为2(t)。这里也把任意时刻t1直接写成了t。因为所以，方差等于均方值与均值平方之差，它表示随机过程在时刻t对于均值a(t)的偏离程度。10均方值均值平方第3章随机过程相关函数式中，(t1)和(t2)分别是在t1和t2时刻观测得到的随机变量。可以看出，R(

5、t1,t2)是两个变量t1和t2的确定函数。协方差函数式中a(t1)a(t2)－在t1和t2时刻得到的(t)的均值f2(x1,x2;t1,t2)－(t)的二维概率密度函数。11相关函数和协方差函数之间的关系12平稳随机过程平稳随机过程的定义定义：若一个随机过程(t)的任意有限维分布函数与时间起点无关，也就是说，对于任意的正整数n和所有实数，有则称该随机过程是在严格意义下的平稳随机过程，简称严平稳随机过程。13性质：该定义表明，平稳随机过程的统计特性不随时间的推移而改变，即它的一维分布函数与时间t无关：而

6、二维分布函数只与时间间隔=t2–t1有关：数字特征：可见，（1）其均值与t无关，为常数a；（2）自相关函数只与时间间隔有关。14把同时满足（1）和（2）的过程定义为广义平稳随机过程。显然，严平稳随机过程必定是广义平稳的，反之不一定成立。在通信系统中所遇到的信号及噪声，大多数可视为平稳的随机过程。因此，研究平稳随机过程有着很大的实际意义。153.2.2各态历经性我们自然会提出这样一个问题：能否从一次试验而得到的一个样本函数x(t)来决定平稳过程的数字特征呢?回答是肯定的。平稳过程在满足一定的条件下具有一个有趣

7、而又非常有用的特性，称为“各态历经性”（又称“遍历性”）。具有各态历经性的过程，其数字特征（均为统计平均）完全可由随机过程中的任一实现的时间平均值来代替。下面，我们来讨论各态历经性的条件。16第3章随机过程各态历经性条件设：x(t)是平稳过程(t)的任意一次实现（样本），则其时间均值和时间相关函数分别定义为：如果平稳过程使下式成立则称该平稳过程具有各态历经性。17第3章随机过程“各态历经”的含义是：随机过程中的任一次实现都经历了随机过程的所有可能状态。因此，在求解各种统计平均（均值或自相关函数等）时，无需作无

8、限多次的考察，只要获得一次考察，用一次实现的“时间平均”值代替过程的“统计平均”值即可，从而使测量和计算的问题大为简化。具有各态历经的随机过程一定是平稳过程，反之不一定成立。在通信系统中所遇到的随机信号和噪声，一般均能满足各态历经条件。18第3章随机过程[例3-1]设一个随机相位的正弦波为其中，A和c均为常数；是在(0,2π)内均匀分布的随机变量。试讨论(t)是否具有各态历经性。