通信原理第3章随机过程

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1、1第3章随机过程通信中的信号和噪声都具有随机性，需要用随机过程的理论来描述。是本课程的重要数学工具。3.4平稳随机过程通过线性系统3.6正弦波加窄带高斯噪声3.5窄带随机过程3.3高斯随机过程3.2平稳随机过程3.1随机过程的基本概念3.7高斯白噪声和带限白噪声23.1随机过程的基本概念什么是随机过程1.无穷多个样本函数xi(t)的集合称作随机过程。2.随机过程可视为无穷多个随机变量(ti)的集合。33.1.1随机过程的分布函数随机变量ξ(t1)小于或等于某一数值x1的概率简记为F1(x1,t1)，即称为随机过程ξ(t)的一维分布函数设ξ(t)表示一个随机过

2、程，在任意给定的时刻t1∈T，其取值ξ(t1)是一个一维随机变量。随机过程的统计特性可以用分布函数或概率密度函数来描述。4如果存在称为随机过程的一维概率密度函数同理，任给t1,t2,…,tn∈T,则ξ(t)的n维分布函数被定义为：n维概率密度函数被定义为5随机过程的数学期望随机过程的方差(variance)：6相关函数(correlationfunction)：描述随机过程在任意两个时刻上获得的随机变量之间的相关程度。式中，(t1)和(t2)分别是在t1和t2时刻观测得到的随机变量。可以看出，R(t1,t2)是两个变量t1和t2的确定函数。7互相关函数式

3、中(t)和(t)分别表示两个随机过程。因此，R(t1,t2)又称为自相关函数。81.和的平均等于平均的和E(X＋Y）＝E(X)＋E(Y)2.若X、Y相互统计独立，则积的平均等与平均的积E(XY)＝E(X)E(Y)3.随机变量X的函数g(X)的平均式中是随机变量X的概率密度函数。4.确知函数可视为常数若是确知函数，则补：进行统计平均运算时常用到的一些公式93.2平稳随机过程狭义平稳（或严平稳）随机过程广义平稳（或宽平稳）随机过程平稳随机过程的“各态历经性”平稳随机过程的自相关函数平稳随机过程的功率谱密度10定义：平稳随机过程的统计特性将不随时间的推移而发生变

4、化，即其任何n维分布函数或概率密度函数与时间起点无关，亦即对于任意的正整数n和任意的实数平稳随机过程的n维概率密度函数满足：称该随机过程是在严格意义下的平稳随机过程，简称严平稳随机过程（狭义平稳随机过程）。3.2.1平稳随机过程的定义11性质：该定义表明，平稳随机过程的统计特性不随时间的推移而改变，即它的一维分布函数与时间t无关：二维分布函数只与时间间隔=t2–t1有关：数字特征：12数字特征：（1）其均值与t无关，为常数a；（2）自相关函数只与时间间隔有关。把同时满足(1)和(2)的过程定义为广义平稳随机过程。显然，严平稳随机过程必定是广义平稳的，反之不

5、一定成立。在通信系统中所遇到的信号及噪声，大多数可视为平稳的随机过程。除特别声明，课程所讨论的均为广义平稳随机过程。13平稳过程在满足一定的条件下具有一个特性，称为“各态历经性”(又称“遍历性”)。具有各态历经性的过程，其数字特征（统计平均）可由随机过程中的任一实现的时间平均值来代替。3.2.2各态历经性14各态历经性条件设：x(t)是平稳过程(t)的任意一次实现(样本)，则其时间均值和时间相关函数分别定义为：如果平稳过程使下式成立则称该平稳过程具有各态历经性。15具有各态历经的随机过程一定是平稳过程，反之不一定成立。在通信系统中所遇到的随机信号和噪声，一般

6、均能满足各态历经条件。163.2.3平稳过程的自相关函数平稳过程自相关函数的定义：同前平稳过程自相关函数的性质—(t)的平均功率—的偶函数—R()的上界,即自相关函数R()在=0有最大值。—(t)的直流功表示平稳过程(t)的交流功率。当均值为0时，有R(0)=2。173.2.4平稳过程的功率谱密度定义：对于任意的确定功率信号f(t)，它的功率谱密度定义为18功率谱密度的计算维纳-辛钦关系非周期的功率型确知信号的自相关函数与其功率谱密度是一对傅里叶变换。这种关系对平稳随机过程同样成立，即有简记为以上关系称为维纳-辛钦关系。它是联系频域和时域两种分

7、析方法的基本关系式。19在维纳-辛钦关系的基础上，可得到结论：对功率谱密度进行积分，可得平稳过程的平均功率：从频域的角度给出了过程平均功率的计算法。功率谱密度P(f)具有非负性和实偶性，即有203.3高斯随机过程（正态随机过程）3.3.1定义如果随机过程(t)的任意n维(n=1,2,...)分布均服从正态分布，则称为正态过程或高斯过程。3.3.2重要性质广义平稳的高斯过程也是严平稳的。高斯过程经过线性变换后生成的过程仍是高斯过程。21如果高斯过程在不同时刻的取值是不相关的，即对所有jk，有bjk=0，则其概率密度可以简化为这表明，如果高斯过程在不同时刻的

8、取值是不相关的，那么它们也是统计独立的