巧用坐标系解正余弦不等式

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1、巧用坐标系解正余弦不等式　　摘要：正余弦不等式即已知角的正余弦范围求角和已知角的范围求正余弦，在三角函数的综合题中常涉及这类计算.人教版教材中是通过画正余弦图像求解，但由于学生存在“恐函”心理，画图像解题效果不理想.本文介绍用“坐标系”法解正余弦不等式，不用画正余弦图像，只要画坐标系就可以解题，解题既快又准确.　　关键词：正余弦图像“坐标系”法正余弦不等式　　“坐标系”法的依据：　　sin（0+2kπ）=sin0=0　　sin（+2kπ）=sin=1　　sin（π+2kπ）=sinπ=0　　sin（

2、+2kπ）=sin=-1　　把它们体现在坐标系上，得到：　　同理可得cosx的坐标系：　　学生可以在理解的基础上记住：正弦sinx在坐标轴上的值按逆时针顺序依次为：0，1，0，-1；余弦cosx在坐标轴上的值按逆时针顺序依次为：1，0，-1，0.　　应用一：求坐标轴上角的正余弦值.　　例1：计算sin180°-cos270°+sin360°+cos0°-cos180°　　点评：学生碰到坐标轴上角如：180°、270°4的正余弦，要么容易记错，要么用诱导公式推导，或者用三角函数的定义推导，但是如果学生

3、记住以上的坐标系，则解题既快又不会错.　　应用二：已知正余弦的范围，求角的范围.　　例2：已知y=sinx，x∈R，求满足-≤y<的x的集合.　　首先用图像法解：　　第一种解法：　　从图像得出符合条件的集合为：　　[2kπ，+2kπ）∪（+2kπ，+2kπ）]∪[+2kπ，2π+2kπ]（k∈Z）　　第二种解法：　　从图像得出符合条件的集合为[-+2kπ，+2kπ）∪（+2kπ，+2kπ]（k∈Z）.　　点评：正余弦是周期函数，研究图像时，常取一个周期考虑，然后再加上周期性.正弦的一个周期常取[0，

4、2π]，余弦的一个周期常取[-π，π]，得到上面第一种解法，图像分为三段，答案比较复杂.第二种解法有所改进，取的一个周期是[-，]，图像分为两段，答案比较简洁.学生在解题时常会困惑到底该取哪个周期比较合适，反而容易出错.　　“坐标系”法：　　第一步（准备）：画正弦坐标系，坐标轴按逆时针标上0，1，0，-1；　　第二步（画终边）：在一、二象限用实线画正弦值为的角的终边，在三、四象限用虚线画正弦值为-的角的终边，此时坐标平面被分成四个区域；4　　第三步（定区域）：找出正弦值介于-和的区域，并用带有逆时针

5、方向箭头的弧线标出；　　第四步（确定角）：在同一周期取定四条终边对应的四个角，遵循原则：按逆时针方向角度从小到大.　　结论：[-+2kπ，+2kπ）∪（+2kπ，+2kπ]（k∈Z）.　　点评：本方法最容易错的就是第四步，所以第三步中要用带有逆时针方向箭头的弧线标出区域，目的就是为了区分角的大小.第一象限那条终边对应的角如果取，而左边区域箭头指向它，所以第四象限那条终边对应的角要比小，应取-，而不是.　　应用二：已知角的范围，求正余弦的范围.　　例3：已知-≤x<，求y=cosx的取值范围.　　第一

6、步（准备）：画余弦坐标系，坐标轴按逆时针标上1，0，-1，0；　　第二步（画终边）：用实线画-对应的终边，用虚线画对应的终边，坐标平面被这两条终边分为两个区域；　　第三步（定区域）：找出角介于-和的区域，并用带有逆时针方向箭头的弧线标出，目的：从小角指向大角；　　第四步（观察值）：顺着箭头方向可以看出，cosx的值从增到1，再从1减到-.　　结论：-

7、速度快且容易做对.4　　相关练习：　　1.计算sin540°+cos270°-cos90°+sin180°.　　2.y=3sin（2x+），x∈[-，]，求y的取值范围.　　3.y=2cos（-），1

8、学生容易接受，提高了解题效率.4