巧用判别式性质 妙解不等式问题

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1、学科：奥数教学内容：巧用判别式性质妙解不等式问题在数学课本时，判别式是判别实系数一元二次方程有无实数根的主要方法，所以大家都很重视它，而从判别式与0的大小关系上，有等与不等两种情形，我们巧用它的不等关系，能够解答一些有趣的不等式以及互相关联的最值问题、参数的取值范围问题．现例说如下．例1已知a、b、c都是实数，证明：≥．（1）证当c＝2a时，（1）式易见成立，对此，只需考虑c≠2a时的情形．对照（1）式，只需证≥0，此式与判别式极为相似，对此用、、为系数，构造一元二次方程：．注意到上述方程有实数根，所以应有它的判别式≥0．例2已知，求证：≥．（2）解据题

2、意，只需证≥0，而此形式相类似于一元二次方程的判别式．现将已知方程化为．由此可见是关于t的方程的一个实根，所以≥0，即≥0．由此得证．例3已知实数a、b，满足．（3）求证：b≥．解将（3）按a的降幂排列：，可见是一元二次方程的一个实根，故判别式≥0，即≥0，由此得b≥．例4已知a、b、c是三个不同实当选，且满足a＋b＋c=0，abc=1，证明：a、b、c中必有一个数大于．证因为abc＝1，所以a、b、c是三个非零实数，又因为a＋b+c=0，所以a、b、c中有两个负实数，一个正实数，不妨设a是正实数，b、c都是负实数，于是b＋c＝－a，，可见b、c是方程的

3、两个不同实根，故判别式，即，故．例5已知实数a、b、c满足a＋b＋c=0，abc=2．试求｜a｜＋｜b｜＋｜c｜的最小值．解类似例4分析，可设a是正数，b、c都是负数，于是｜a｜＋｜b｜＋｜c｜＝a―b―c＝a＋a＝2a．可见，只需求2a的最小值．注意到b＋c＝－a，，所以b、c是方程的两个实数根，因此判别式≥0，即≥8，所以a≥2，由此得｜a｜＋｜b｜＋｜c｜的最小值是2×2＝4．例6如图1，过正方形ABCD的顶点C任作一条直线与AB、AD的延长线相交于P、Q，求证：AP+AQ≥．证设正方形的ABCD边长为a，注意到，所以有，即．由此可见，AP、AQ是

4、方程的两个实根，故判别式≥0，即≥4a，注意到，所以≥．例7已知x，y，z都是实数，a>0，且解因x＋y＝a－z③，两端平方得．④－②得，即．⑤由③、⑤式可知，x、y是关于未知数t的二次方程的两个实根，故判别或△=,即≥0，即≥0．由此解得z的取值范围是0≤z≤．由于①、②式关于x、y，z都是对称式，所以，x、y与z都是相当的，同理可以求得它们的取值范围：0≤x≤a,0≤y≤a．例8设实数x，y满足，求的取值范围．解设（参数），于是故，又因为（＊），可见，于是x、y是关于未知数t的二次方程的两个实根，故判别式≥0，即≥0，故k≥．即≤．又由（＊）式知≥0

5、，。故k≤6，由此得≤≤6．例9已知实数a，b满足①，求的最大值．解令＝t，则b＝at，代入①式并整理后可得，由此可见，x＝a是一元二次方程（t+1）x+12=0的一个实根，故判别式Δ=3612≥0，即≥0，故≤0，因此t的取范围是方程的两个实根之间，即≤t≤，故的最大值是．