巧用导数知识-妙解参数问题.doc

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1、巧用导数知识，妙解参数问题厦门市禾山中学林日平导数，作为解决与高次函数有关问题的一种工具，有着无可比拟的优越性。也越来越受到高考命题专家的“青睐”。其中，利用导数求参数的取值范围，更是成为近年来高考的热点。，甚至很多省份都安排在倒数第一、二题的位置上！现以近几年的高考题为例，探讨一下用导数求参数范围的几种常见题型及求解策略。策略一：分离变量法所谓分离变量法，是通过将两个变量构成的不等式(方程)变形到不等号(等号)两端，使两端变量各自相同,解决有关不等式恒成立、不等式存在（有）解和方程有解中参数取值范围的一种

2、方法.两个变量，其中一个范围已知，另一个范围未知.解决问题的关键:分离变量之后将问题转化为求函数的最值或值域的问题.分离变量后，对于不同问题我们有不同的理论依据可以遵循.以下结论均为已知的范围，求的范围：结论一、不等式恒成立（求解的最小值）；不等式恒成立（求解的最大值）.结论二、不等式存在解（求解的最大值）；不等式存在解（即求解的最小值）.结论三、方程有解的范围的值域（求解的值域）.案例1、（2009福建卷）若曲线存在垂直于轴的切线，则实数取值范围是_____________.分析：依题意方程在内有解，即案

3、例2、（2008湖北卷）若上是减函数，则的取值范围是（）A.B.C.D.分析：由题意可知，在上恒成立，即在上恒成立，由于，所以，案例3、（2008广东卷）设，若函数，有大于零的极值点，则（）A．B．C．D．分析：，若函数在上有大于零的极值点，即有正根。当有成立时,显然有,此时，由得.案例4、（2008江苏卷）设函数，若对于任意的都有成立，则实数的值为解：当，则不论取何值，显然成立；当时，可化为，令，则，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，因此，从而；当时，可化为，在区间上单调递增，因此，从而，综上分离变

4、量法是近几年高考考查和应用最多的一种。解决问题时需要注意：（1）确定问题是恒成立、存在、方程有解中的哪一类；（2）确定是求最大值、最小值还是值域.高三复习过程中,很多题目都需要用到分离变量的思想,除了基础题目可以使用分离变量,很多压轴题也开可以用这种方法去求解。案例5、（2005湖北卷）已知向量=(,)，=(,)，若在区间(-1,1)上是增函数，求的取值范围.解析：由向量的数量积定义，=()+()=+++∴=++.若在区间(-1,1)上是增函数，则有≥0≥-在(-1,1)上恒成立.若令=-=-3()-在区间

5、[-1,1]上，==5，故在区间(-1,1)上使≥恒成立，只需≥即可，即≥5.即的取值范围是[5，∞）.利用导数与函数单调性的关系求解参数问题的题型，是高考命题的一种趋势，它充分体现了高考“能力立意”的思想。对此，复习中不能忽视。策略二：主次元变换法案例6、.（2009北京卷）设函数（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）求函数的单调区间；（Ⅲ）若函数在区间内单调递增，求的取值范围.分析：本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力．（Ⅰ）（Ⅱ）题略，对于题（Ⅲ）

6、，若借助（Ⅱ）的结论入手，须分两种情况求解，学生不一定能考虑得很全面；通过思考，不妨变换一下主次元，转化为一次函数的问题求解。（Ⅲ）解：由题意即∴又∴的取值范围是.本题通过变换主元的思想，巧妙地应用函数的单调性，避免了对k的讨论，简化了问题的求解。策略三、极值法有些函数问题，若能适时地借助函数的图象，巧妙地利用函数的极值来求解，可使问题豁然开朗。案例7、（07全国卷二）已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）设，如果过点可作曲线的三条切线，证明：解：（1）略．（2）如果有一条切线过点，则存在，使．若过

7、点可作曲线的三条切线，则方程有三个相异的实数根．记，则．当变化时，变化情况如下表：000增函数极大值减函数极小值增函数如果过可作曲线三条切线，即=0有三个相异的实数根，则有即．本题的求解，充分利用函数的极值，把原本复杂的问题转化为极值的正负问题，使问题变得更加直观、充分体现了导数的优越性案例8、（2009陕西卷）已知函数求的单调区间；若在处取得极值，直线y=m与的图象有三个不同的交点，求m的取值范围。解析：（1）略（2）因为在处取得极大值，所以所以由解得。由（1）中的单调性可知，在处取得极大值，在处取得极小

8、值。因为直线与函数的图象有三个不同的交点，由的单调性可知，案例9.（2008四川卷）．已知x=3函数f(x)=aln(1+x)+x2-10x的一个极值点。（Ⅰ）求a；（Ⅱ）求函数f(x)的单调区间；（Ⅲ）若直线y=b与函数y=f(x)的图象有3个交点，求b的取值范围。分析：（Ⅰ）（Ⅱ）略（Ⅲ）由（Ⅱ）知，在内单调增加，在内单调减少，在上单调增加，且当或时，所以的极大值为，极小值为因此所以在的三个单调区间直线有的图