基于类比思维的高中数学解题方法研究

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1、基于类比思维的高中数学解题方法研究　　【摘要】通过两则类比数学题的分析、解答与点评，具体阐释了类比思维方法在高中数学解题中的应用.　　【关键词】类比思维；高中数学　　一、引言　　自从人教版的数学新课标教材在全国范围内广泛试用后，数学思维的拓展越来越成为高中数学教育的重点.数学思维是传统数学研究方式的深化，它蕴含了数学解题中的探索性思考方式，由于新课标的出现，数学思维在高中数学教育中也出现一定程度的更新.类比思维是高中数学教育中的一个重点，它是建立在探究性数学研究的基础上的，在数学教育中灌输给学生良好的类比思维方式，可以有效引导学生去观察

2、数学事理中的异同点，有助于学生开展创造性研究，积极发现问题，并努力认识问题.通俗地讲，类比思维就是运用一定的逻辑思维，将两种事物进行比较，寻找事物之间存在的异同点，它可以使学生的思维得到拓展，不断调动学生学习数学知识的积极性，并提升学生的数学解题能力.　　二、类比思维可以加强数学解题中对于新旧知识的对比5　　在高中数学题中，类比形式的题型约占所有题型的1/3之上，而有些题型虽然看似非类比式题型，但实际上也可以通过类比思维进行解答，而且运用类比思维的解题速度也可能会提高.运用类比思维解答高中数学题，一个重要的优势在于它可以加强学生将新知识

3、与旧知识进行联系，这样便促进了数学教学内容的不断丰富和深化.在一堂内容丰富的数学课上，学生的创造性思维就会被激发出来，在不断巩固学生基础知识的基础上，可以在学生脑海里构筑自己的知识结构框架.　　下面以一则数学实例对类比思维的这种优点做具体解释，数学实例的题材为数列.在数列题中，等差数列和等比数列之间无论是定义还是通项公式都非常相似，因此我们可以运用类比思维考查等差数列，从而探究等比数列的性质.　　例1假设数列{an}与{bn}都是无穷数列，问题如下：　　（1）现设{an}与{bn}都是等比数列，通过两个数列的某种运算得到新数列{an+b

4、n}，{anbn}，那么，这两个新数列是否也都是等比数列？如果是，分别求出它们的通项公式和前n项和的公式；如果不是，请说明理由.　　（2）请类比（1），并根据等差数列提出有关命题，写出等差数列的前n项和的公式，用含有首项和公差的形式表示.　　分析（1）解答第一问，我们需从两个数列的公比入手，根据{an+bn}和{anbn}是否存在公比即可判定它们是否属于等比数列.在判定属于等比数列以后，我们也必然知道它们的公比，于是根据等比数列求和公式即可解得前n项和的公式.　　（2）首先讨论两个新数列的性质，然后从等比数列的乘类比到等差数列的和，讨论

5、其公差是否为零，从而求得等差数列的通项公式，于是前n项和公式便迎刃而解.　　解5（1）设{an}和{bn}的公比分别为q1和q2，又设cn=an+bn，于是有cn2-cn+1cn-1=（a1q1n-1+b1q2n-1）2-（a1q1n+b1q2n）?（a1q1n-2+b1q2n-2）.　　当q1=q2时，任对一个自然数n，且n大于等于2，cn2=cn+1?cn-1恒成立，因此有{an+bn}为等比数列，且其公比即为q1；　　当q1=q2=1时，前n项和公式为Sn=n（a1+b1）；　　当q1=q2≠1时，前n项和公式为Sn=（a1+b1

6、）?（1-q1n）/（1-q1）.　　但当q1不等于q2时，任对一个自然数n，且n大于等于2，有cn2不等于cn+1cn-1，因此{an+bn}不是等比数列.　　又设dn=anbn，任对一个自然数n∈N+，有dn+1/dn=an+1bn+1/anbn=q1q2，所以数列{anbn}为等比数列，且公比为q1q2.　　当q1q2=1时，前n项和公式为Sn=n（a1b1）；　　当q1q2不等于1时，前n项和公式为Sn=a1b1?（1-q1nq2n）/（1-q1q2）.　　（2）观察（1）中{an+bn}、{anbn}的公比性质，我们发现有乘积

7、形式的数列{anbn}的公比为q1q2，即原数列的公比之积，而首项也是原数列首项之积；{an+bn}的首项为（a1+b1），当存在公比时，其公比恰好为原数列的公比.　　设{an}和{bn}都是等差数列，其公差分别为d1，d2，于是推测：　　Ⅰ.{an+bn}为等差数列，且公差为d1+d2，前n项和公式为Sn=（a1+b1）?n+n（n-1）（d1+d2）/2.5　　当d1，d2至少存在一个为零时，{anbn}也为等差数列，若d1=0，则Sn=a1b1n+n（n-1）?a1d2/2；若d2=0，则Sn=a1b1n+n（n-1）?b1d1/

8、2.　　Ⅱ.当d1，d2都为零时，{anbn}不是等差数列.　　点评例1主要考查了数列题的类比推理，其中主要涉及了等比数列与等差数列之间的性质转换，在类比推理的过程中，主要涉及等比数列类推到等差数列时关于公