一道错题的分析与斧正

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1、一道错题的分析与斧正　　摘要：在学生课外练习中，往往碰到一些条件不充分的习题，致使问题无法解决。究其原因很多，有的是编排印刷出错，有的是编题者粗心失误。但每当遇到此类情况，大多教师让学生选择放弃，这不利于数学思维的开发和培养，而应该认真审题，揣摩命题者的意图，通过增补条件使命题科学合理。　　关键词：错题；分析；修正　　中图分类号：G632文献标识码：B文章编号：1002-7661（2013）08-136-01　　《中学生数学》（初中版）2009年第4期四十七页，初二年级练习第1题是一道错题，由于此题条件不

2、充分，所以无法求出正确答案。下面谈谈自己的一些做法，供大家参考。　　原题：　　如图1，五边形ABCDE中，∠A=∠B=∠C=120°，且AB=BC=4，CD=8，求五边形ABCDE的周长及面积。　　分析：　　文中提供的参考答案是分别延长ED、BC交于点N，延长EA、CB交于点M，易证△ABM、△DCN和△MNE均为等边三角形……故容易求出五边形ABCDE的周长为36，面积为44。　　观察其解题过程，不难发现，解决这个问题的前提是：首先说明△3ABM、△DCN和△MNE均为等边三角形。但鄙人花了很长时间，始

3、终找不到证明的充分条件，于是想到运用反例来推翻这道命题。　　在图1中，如果在EA上任取一点F，连接DF，不难发现五边形ABCDF与五边形ABCDE符合同样的条件，从而说明符合题中条件的五边形ABCDE的大小不能确定，所以此题无法求解。做到这里，我并没有放弃，而是仔细揣摩命题者的意图――即利用“增补图形法”，将不规则图形转化为规则图形来求解。于是，本人从这方面入手，将这道题做了以下的一些斧正。　　修正1：　　如图1，五边形ABCDE中，∠A=∠B=∠C=∠D=120°，且AB=BC=4，CD=8，求五边形A

4、BCDE的周长及面积。　　修正2：　　如图1，五边形ABCDE中，∠A=∠B=∠C=120°，且AB=BC=4，CD=DE=8，求五边形ABCDE的周长及面积。　　说明：　　上述二个修正，因为都符合解决这类问题的一个关键点，即通过增补∠D的度数或增添DE的长度，使五边形ABCDE的大小得以确定，所以都能正确地求解。修正后的试题答案同文中所给的一致，在此留有读者自己完成，就不再一一计算了。　　修正3：　　在五边形ABCDE中，∠A=∠B=∠C=120°，且AB=BC=4，CD=DE=8求五边形ABCDE的周

5、长及面积。　　说明：3　　此题与“修正2”有所不同，“修正2”中图形是已知的，而这道题的图形是未知的，画图时发现，除有“修正2”的那种图形外（如图1），还有另一种情形的图形（如图2或3）。故“修正3”要分类讨论，因此该题除有“修正2”的答案外，还有如下的另一种答案。　　方法1（文中的方法）：　　如图2，延长AE到F，使DE=EF，连接FD并延长与BC的延长线交于N点，延长EA、CB交于M点，易证△ABM、△DCN、△DEF和△MNF均为等边三角形，则：周长为：8+8+4+4+4=28；面积为：64-16-

6、16-4=28。　　方法2：　　如图3，延长EA、CB交于点M，易证△ABM为等边三角形，四边形DEMC为平行四边形（一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形）则：周长为：2×（8+8）-4=28，面积为：8×4-×4×2=28。　　注意：　　上述修正1有图和无图的答案是一样的，其图形是确定的、唯一的。同学们不妨通过画图将修正1与修正2仔细比较，你能看出其中的奥秘吗？　　以上分析与斧正不知是否正确？还望各位专家同行批评指正。同时希望各类报刊杂志加大审稿力度，尽量避免这类事情的发生，为学生提供科学合

7、理的精神食粮。3