一道棱锥错题的分析

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1、一道棱锥错题的分析------吉林省榆树市实验中学数学组张宇现在市场上高中数学的辅导材料层出不穷，这其中有一些资料在主体几何棱锥部分的习题中都会出现这样一道题三棱锥三条侧棱两两互相垂直，三侧面与底面所成的三面角分别为30o、45o、60o，底面面务为1，则三棱锥的侧面积为（）A.B.C.D.书后答案为A解答：设三棱锥如图法一：已知：PA、PB、PC两两互相垂直，面PAB、面PAC、面PBC与底面ABC成角分别为30o、45o、60o。易知PC面PAB，过P做PDAB于点D，连结CDCDP为侧面PAB与底面ABC所成二面角的平面角，等于30o又△CPD为直角三角形

2、cosCDP===即=·cos30o同理=·cos45o=·cos60oS侧=++=（cos30o+cos45o+cos60o）=法二：由射影面积公式cos30o=cos45o=cos60o=S侧=（cos30o+cos45o+cos60o）=得证一些教师还可以引申求出此棱锥的体积，解：·PA·PB==cos30o=cos30o·PA·PC==cos45o=cos45o·PB·PC==cos60o=cos60oV=×(PA·PB)·PC=2此题到此似乎得到了完满的解决，同时此题考查了二面角平面角的找法（或“射影面积”公式），以及棱锥性质的灵活应用。是一道“好题”

3、。但是，我们进一步思考一下，满足题设条件的三棱锥存在吗？为了解决这一问题，我们先来证明一个普通性的命题。“如果一个三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，那么此三棱锥3个侧面面积的平方和等于底面面积的平方”已知：如图三棱锥PA、PB、PC两两互相垂直求证：=++①证明：易知PC面PAB，PCPD过P做PDAB于点D，连结CD，得CDAB=AB2·CD2=AB2（PC2+PD2）=AB2（PC2+）=（AB2·PC2+PA2·PB2）=（PA2·PC2+PB2·PC2+PA2·PB2）=++现在我们再来分析那道选择题由①式可得=++=（cos230o+cos245o+cos

4、260o）1=++而此式显然不成立这样的三棱锥并不存在。由此得出结论这是一道错题，若想使用可将度数改为60o、60o、45o，即可满足①式的要求，这样的棱锥就存在了。此题的错误非常隐蔽，但它造成的危害却很大，它给学生造成一种认识上的误区，即三个侧棱互相垂直的三棱锥的三个侧面与底面成角似乎可以在（0o，90o）内任意取，这是危害很大的错误，容易使学生对棱锥性质的认识出现偏差，必须及时纠正，同时我也希望各位高中教师，在选题、用题时一定要仔细推敲，避免出现类似的问题。2