用数形结合思想提升学生的数学素养和应用能力

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1、用数形结合思想提升学生的数学素养和应用能力黄志华摘要：教师要教给学生运用数形结合的思想分析和解决问题，使学生领会到“数形结合”的方法具有形象、直观、易于说明等优点，并让学生初步学会用“数形结合”的观点去分析问题、解决问题。从而不断让学生感受数学思想的魅力,让学牛.逐渐形成对数学思想的应用意识，提升学牛.的数学素养。关键词：数形结合；图形语言；函数图像许多刚迈进高一的学生，初中的时候数学成绩非常好，但是进到高中不到两个月就发现自己在数学学科上与别的学生产生了很大差距，这让他们在数学学习中产生了很大的障碍，因此，这些学生心理产生了巨大的落差，甚至

2、影响到其他学科的正常学习，但是反观其他学生的数学学习不仅轻松，而且成绩也越来越优秀。同样都是优等生考入高中，为何产生如此大的差异？通过分析，笔者发现,其中一个重要的原因就在于数学成绩优秀的学生在学习数学时，能够运用数学思想去分析问题。而进入高中之后，学生第一学期所学的两个必修模块的内容都以函数为主，因此，学生对函数知识的掌握程度直接影响了数学学习成绩的好与坏。我们都知道，函数的性质与其图像的联系非常紧密。这其中就体现高中阶段数学的一个重要思想，即数形结合思想。但是所有的数学思想在高中教材中并没有单独设置一个章节来讲授，因此，教师只有在平时的讲

3、课中对学生进行数形结合思想的渗透，让学生逐步去感受和理解数形结合的思想，并自然地去运用。在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一，要让学生彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既要让学生分析其几何意义，又要让学生分析其代数意义；第二，教师要让学生恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，促使学生做好数形之间的转化；第三，教师要教学生正确确定参数的取值范围。教师在教学过程中要充分利用图形的直观性和具体性，引导学生从图与形上发现数量关系，找出解决问题的突破U。笔者结合近十几年的高中教学实践

4、，总结了一些在平吋教学过程中对学生进行数形结合思想滲透的方法。一、教师要注重平时课中的渗透，让学生感受数形结合的思想刚刚步入高中的学生，由于刚接触集合这一概念，他们往往对集合之间的关系的理解感到困难，因此，在教学过程中，教师要向学生介绍集合的维恩（Venn）图表示方法及数轴表示方法。1.利用集合的维恩（Venn）图表示方法解决集合问题例1.己知：有48名学生，每人至少参加一个活动小组，参加数、理、化小组的学生分别为28,25,15，同时参加数、理小组的学生为8人，同吋参加数、化小组的学生为6人，同时参加理、化小组的学生为7人，问：同时参加数、

5、理、化小组的学生共有多少人？分析：我们可用圆A、B、C分别表示参加数理化小组的人数（如图1>,则三圆的公共部分正好表示同吋参加数理化小组的人数。用n表示集合的元素，则脊：即：∴,即冋吋参加数理化小组的奋1人.2.利用数轴解决集合的有关运算和集合的关系问题图1当已知几个集合的解集是不等式形式，要求它们的交集或并集时，教师需要经常借助于数轴，把不等式的解集在数轴上表示出来，让学生通过数轴观察它们的交集或并集，这样比较直观。例2.己知集合，若，（1）求的范围。（2）若，求的范围。分析：先在数轴上表示出集合A的范围，要使，由包含于的关系

6、可知集合B应该覆盖集合A,从而有^这吋的值不可能存在（图2①）,要使，当a>O吋集合A应该覆盖集合B,应冇成立，。当吋,，显然成立.故吋的取值范围为：（图2②）图2教师要注重课堂中的示范作用，在讲解A）题时多用图形语言解释，让学生感受数形结合思想的特征在平吋的教学内容中，有很多是与函数相关的，比如，方程解的个数、单调区间的求解、图形形状的判定等等。只要能够用作图来反映解题思路，教师都要尽量用图形的语言来解释，让学生认识数形结合思想的基本应用过程。例3.设方程，试讨论取不同范围的值吋其不同解的个数的情况。分析：我们可把这个问题转化为确定函

7、数与图像（如图3＞交点个数的情况，因函数表示平行于轴的所有直线，从图像可以直观看出：①当吋，与没有交点，这时原方程无解；②当时，与有两个交点，原方程有两个不同的解；③当吋，与有四个不同交点，原方程不同解的个数有四个；④当吋，与有三个交点，原方程不同解的个数有三个；⑤当时与有两个交点，原方程不同解的个数有三个。图3如果按常规去绝对值，用传统的解二次函数的方法来解该题会很繁琐，也会浪费很多吋间，甚至会让学生丧失解题的信心。而如果教师用数形结合的方法来讲解该题，会使学生进一步感受数形结思想的应用过程，也让其体会到数形结合思想的应用所带的便捷。三、教

8、师要注重教学中的积极引导，培养学生对数形结合思想的应用意识俗话说：“兴趣是最好的老师。”任何内容只要让学生产生兴趣，那么，他们掌握和运用起来就可以驾轻就熟了。同时，