（学生版）数学中的常见思想和方法-数形结合

《（学生版）数学中的常见思想和方法-数形结合》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、数学解题中的常见思想和方法在各板块中的总结之--数形结合1．数形结合思想的应用包括以下两个方面：(1)“以形助数”，把某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，揭示数学问题的本质；(2)“以数定形”，把直观图形数量化，使形更加精确．2．实现数形结合，常与以下内容有关：(1)实数与数轴上的点的对应关系；(2)函数与图象的对应关系；(3)曲线与方程的对应关系；(4)以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数，向量等；(5)所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义．题型一　数形结合解决函数方程问题【例1】对于实数a和b

2、，定义运算“*”：a*b＝设f(x)＝(2x－1)*(x－1)，且关于x的方程f(x)＝m(m∈R)恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围是________．【例2】设函数f(x)定义在实数集上，f(2－x)＝f(x)，且当x≥1时，f(x)＝lnx，则有(　　)A．f()

3、logax<0在x∈(0，)时恒成立，则a的取值范围是(　　)A．01D．0

4、(x)，则实数a的取值范围是__________．4【例7】已知不等式x2＋ax－2a2<0的解集为P，不等式

5、x＋1

6、<3的解集为Q，若P⊆Q，则实数a的取值范围是____________．题型三　数形结合解决有明显几何意义的式子(概念)问题【例8】已知函数f(x)＝ax2＋bx－1(a，b∈R且a>0)有两个零点，其中一个零点在区间(1,2)内，则的取值范围为(　　)A．(－∞，1)B．(－∞，1]C．(－2,1]D．(－2,1)【反思归纳】如果等式、代数式的结构蕴含着明显的几何特征，就要考虑用数形结合的思想方法来解题，即所谓的几何法求解，比较常

7、见的对应有：(1)↔(a，b)、(m，n)连线的斜率；(2)↔(a，b)、(m，n)之间的距离；(3)a2＋b2＝c2↔a、b、c为直角三角形的三边；(4)f(a－x)＝f(b＋x)↔f(x)图象的对称轴为x＝.只要具有一定的观察能力，再掌握常见的数与形的对应类型，就一定能得心应手地运用数形结合的思想方法．【例9】已知点P(x，y)的坐标x，y满足则x2＋y2－6x＋9的取值范围是(　　)A．[2,4]B．[2,16]C．[4,10]D．[4,16]题型四　数形结合解几何问题【例10】已知点P在抛物线y2＝4x上，那么点P到点Q(2，－1)的距离与点

8、P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为(　　)A．(，－1)B．(，1)C．(1,2)D．(1，－2)【例11】已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是(　　)A．(1,2]B．(1,2)C．[2，＋∞)D．(2，＋∞)【变式】的值域是_____________.【例12】已知a、b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，则

9、c

10、的最大值是(　　)A．1B．2C.D.4【例13】设a，b，c是单位向量，且a·b＝

11、0，则(a－c)·(b－c)的最小值为(　　)A．－2B.－2C．－1D．1－【例14】分别是椭圆的左、右焦点，椭圆上的点满足，则的横坐标的取值范围是_______________.【例15】在正方形内部任取一点，使得的概率是(）A．B．C．D．【例16】矩形的长，宽，若平面，矩形的边上至少有一个点,使得，则的范围是（）A．B．C．D．总结：________________________________【例17】已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则

12、

13、PM

14、＋

15、PN

16、的最小值为(　　)A．5－4B.－1C．6－2D.【例18】在平面直角坐标系中，已知圆点若