微积分课“不定积分第一类换元法”分类总结

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1、微积分课“不定积分第一类换元法”分类总结　　摘要：本文分类总结了不定积分第一类换元积分法的常见类型，并给出典型的例题讲解。　　关键词：不定积分；第一类换元积分法；分类　　　　第一类换元积分法是求不定积分重要的、基础的方法，本文将第一类换元积分法（凑微分法）常见的类型进行分类总结。　　定理：设（1）■f(u)du=F(u)+C，（2）函数u=?渍(x)可微，则成立第一类换元积分方法：　　■f[?渍(x)]?渍′(x)dx=■f[?渍(x)]d?渍(x)=■f(u)du■　　=[F(u)+C]u=?渍(x)=F[?渍(x)]+C　　类型Ⅰ■f(ax+b)dx=■■f(ax+b)d(a

2、x+b)(a≠0)　　例1■■=■■(3x-1)■d(3x-1)=■■+C　　例2①■■②■■　　分析：①中被积函数分母x2+2x+5的△0，通过对分母因式分解，做变换■■=■■。　　解：①■■dx=■■dx　　=■■d(x+1)=■arctan■+C　　②■■=■■=ln■+C　　类型Ⅱ■x?琢-1f(x?琢+b)dx=■■f(x?琢+b)d(x?琢+b)(?琢≠0)4　　例3■x■dx=■■(x2-3)■d(x2-3)=■?■(x2-3)■+C=■(x2-3)■+C　　例4■■sec2■dx=-■sec2■d(■)=-tan■+C　　类型Ⅲ■■f(lnx)dx=■f(lnx)

3、d(lnx)或■■f(ln

4、x

5、)dx=■f(ln

6、x

7、)d(ln

8、x

9、)　　例5■■=■■=■(1+lnx)-2d(1+lnx)　　=-■+C　　类型Ⅳ■exf(ex)dx=■f(ex)d(ex)或■f(ex)dx=■■d(ex)　　例6■■dx=■■dex=■arcan■+C　　类型Ⅴ关于被积函数中含有sinx和cosx的不定积分　　?■cosxf(sinx)dx=■f(sinx)d(sinx)和■sinxf(cosx)dx　　=-■f(cosc)d(cosx)　　例7■esinxcosxdx=■esinxd(sinx)=esinx+C　　?对于形如■sinmxcosnxdx

10、，■sinmxsinnxdx和■cosmxcosnxdx的积分(m,n∈N)，可首先利用积化和差公式对被积函数进行变形。　　例8■sin5xcos3xdx=■■[sin(5x+3x)]+sin(5x-3x)dx　　=■[■sin8xdx+■sin2xdx]　　=■■sin8xd(8x)+■■sin2xd(2x)　　=-■cos8x-■cos4x+C　　?对于形如■sinmxcosnxdx的积分(m,n∈N)，可按如下方法处理：　　（1）m,n中至少有一个为奇数时，不妨设n=2k+1，　　■sinmxcos2k+1xdx=■sinmx(1-sin2x)kd(sinx)=■um(1-

11、u2)kdu，化成u的多项式积分，求出后以u=sinx代回；4　　（2）m,n都为偶数时，可用倍角公式，sin2x=■(1-cos2x),cos2x=■(1+cos2x)降低三角函数幂次。　　例9■sin2xcos3xdx=■sin2x(1-sin2x)d(sinx)　　=■(sin2x-sin4x)d(sinx)　　=■sin3x-■sin5x+C　　例10■sin2xcos2xdx=■■■dx　　=■■(1-cos22x)dx=■■(1-■)dx=■■(1-cos4x)dx　　=■■dx-■■cos4xd(4x)=■-■sin4x+C　　类型Ⅵ■sec2xf(tanx)dx=

12、■f(tanx)d(tanx)■cos2xf(cotx)dx=-■f(cotx)d(cotx)　　和■f(secx)secxtanxdx=■f(secx)d(secx)■f(cscx)cscxcotxdx=-■f(cscx)d(cscx)　　例11■tanxsec4xdx=■tanxsec2x?sec2xdx　　=■tanx(1+tan2x)d(tanx)　　=■tan2x+■tan4x+C　　或者用下面解法：　　■tanxsec4xdx=■tanxsec2x?sec2xdx　　=■sec3xd(secx)=■sec4x+C　　类型Ⅶ■■dx=■■df(x)=ln

13、f(x)

14、+C

15、　　例12■■dx=■■d(x2-x+3)=ln

16、x2-x+3

17、+C　　类型Ⅷ■■dx=■f(arcsinx)d(arcsinx)　　和■■dx=■f(arctanx)d(arctanx)4　　例13■■dx=■arcsinxd(arcsinx)=■(arcsinx)2+C　　例14■■dx=■earctanxd(arctanx)=earctanx+C　　不定积分计算方法多样灵活，作为对逆向思维的一种考察，难度较大。三本院校偏文科类的学生，数学基础薄弱，因此要降低理论推导要求，加