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1、定义 给定向量组A:a1,a2,···,am,如果存在不全为零的数k1,k2,···,km,使 k1a1+k2a2+···+kmam=0则称向量组A是线性相关的,否则称它是线性无关.注意 1、对于任一向量组而言,不是线性无关的就是线性相关的. 2、若a1,a2,···,am线性无关,则只有当k1=k2=···=km=0时,才有k1a1+k2a2+···+kmam=0成立. 3、向量组A只包含一个向量a时,若a=0则说A线性相关;若a≠0,则说A线性无关. 4、包含零向量的任何向量组是线性相关的. 5、含有相同向量的向量组必线性相关. 6、增加向量的个数，不
2、改变向量的相关性.(注意，原本的向量组是线性相关的) 【局部相关，整体相关】 7、减少向量的个数，不改变向量的无关性.(注意，原本的向量组是线性无关的） 【整体无关，局部无关】 8、任意n+1个n维向量必线性相关. 【个数大于维数必相关】 9、一个向量组线性无关，则在相同位置处都增加一个分量后得到的新向量组仍线性无关. 【无关组的加长组仍无关】 10、一个向量组线性相关，则在相同位置处都去掉一个分量后得到的新向量组仍线性相关. 【相关组的缩短组仍相关】定理 1、向量a1,a2,···,an(n≧2)线性相关的充要条件是这n个向量中的（至少有一个）一个为
3、其余(n-1)个向量的线性组合。 2、一个向量线性相关的充分条件是它是一个零向量。 3、两个向量a、b共线的充要条件是a、b线性相关。 4、三个向量a、b、c共面的充要条件是a、b、c线性相关。5、空间中任意四个向量总是线性相关。我以为同一个线性相关的向量组（n个向量）里的向量应该都能够用这个组里的其他n-1个向量表示而成，结果出乎我意料的是书上说至少有一个能由其他n-1个向量线性表示，注意是至少有一个，不是全部，结果不幸的是我成了其中的一个，所以我选择线性无关。线性相关又如何，还不是不能由别人来表示，线性无关又何妨？大家都高兴，即使不高兴也可以装高兴，不是多好吗？
4、纠结的线性相关，蛋疼的线性无关，你说该线性相关还是线性无关呢？选择线性无关何必还去想线性相关呢？是不？既然是线性相关，就应该成为能够用别人表示的一份子，既然不能这样，就线性无关吧，虽然书上没说不能选择，但是现实中却是可以选择线性相关或无关的，果断的...我纠结的选择线性无关，虽然偶尔会烦躁，比如现在，但是总比线性相关着并且一直烦躁好吧，好吧，我思想境界低，我是坏人，没有达到无法无念的境界，年少气盛是通病.如果让我在魔和神之间选择一个，我会选择魔，魔神或许更好，半魔半神，魔神毕竟也是神，虽然有个魔字，孰能理解魔神的无奈。当累了变成泪了，当无奈变成无赖，你会怎样选择？线性无关
5、？线性相关？亦或许还有其他选择？这是本坏人今天看线性代数的感慨在一本资料书上看到如下两句话一向量组线性相关，则在相同位置上去掉相同个数的分量所得的向量组仍线性相关一向量组线性无关，则在相同位置上增加相同个数的分量所得的向量组仍线性无关个人认为是错的好像与教材上说的：若向量组A：a1,a2.....am线性相关，则向量组B:a1,a2......am,a(m+1)也线性相关，反之，若向量组B线性无关，则向量组A也线性无关矛盾了请高人说说那两句话的正确性，并给出理由。最佳答案资料书上和教材上的都是对的，两者并不矛盾，注意区分下列两种说法：（1）向量组向量总数不变但都增加（或都
6、去掉）相同个数的分量；（2）向量组每个向量的分量个数（即维数）不变但向量组向量个数增加（或减少）；向量组线形相关可理解为存在一组系数，对向量组的每一维，该系数对应的线性方程都成立，线性无关则可理解为不存在满足上述条件的系数。一n维向量组线性相关，说明存在一组系数使n维对应的n个方程都成立，去掉相同个数的分量，维数降低，方程个数减少，同一组系数当然还是能使每个方程成立。一n维向量组线性无关，说明不存在一组系数使n维对应的n个方程都成立，增加相同个数的分量，维数增加，方程个数变多，满足更强条件的系数当然就更不存在了。增加向量组向量的个数，相当于增加上述线性方程的元数，如果较少
7、元数都能找到满足条件的系数，取同一组系数，对增加的元数令系数为0，易知如此扩展的一组系数也必定满足条件。上述结论的逆否命题即为，减少向量组向量的个数，原来无关的向量组仍应无关。选择题：已知向量组，a1,a2,a3,a4线性无关，则向量组（）Aa1+a2,a2+a3,a3+a4，a4+a1线性无关Ba1-a2,a2-a3,a3-a4,a4-a1线性无关Ca1+a2,a2+a3,a3+a4,a4-a1线性无关Da1+a2,a2+a3,a3-a4,a4-a1线性无关后面答案是这么写的由于（a1+a2）-(a2+a3)+(a3+a4)
