《线性映射》word版

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1、一．线性映射上一节课研究了数域P上线性空间的结构。在许多数学问题和实际问题中起着重要作用的是线性空间到线性空间的映射，并且这些映射有一个共同点，即保持加法和数量乘法两种运算，我们称这样的映射为线性映射。1.1线性映射的定义及其性质1.1.1【定义】设、是数域P的两个线性空间，是到的一个映射，如果对中任意两个向量，和任意数，都有，即能向量线性关系的不变性，则称是到的线性映射或线性算子。上面两式所涉及到的加法和数量乘法是线性空间里边定义的加法和数量乘法。与上一节说到的线性空间到的同构映射相比，线性映射比同构映射少了单映射和满映射这两条要求。因此线性映射

2、比同构映射更广泛。线性空间到的线性映射也称为同态映射。例1将线性空间中每一个向量映射成线性空间中零向量的映射是一个线性映射，称为零映射，记为，即例2线性空间到自身的恒等映射是一个线性映射，记为，即例3任意给定数，数域P上线性空间到自身的一个映射K是一个线性映射，称为V上的由数决定的数乘映射。例1设是线性空间到的一个线性映射，定义到的映射则是线性空间到的线性映射，称为的负映射。1.1.2【性质】设是线性空间到的线性映射，则（1）；（2）；（3）线性映射保持线性组合与线性关系式不变，即若是的线性组合，且存在，有则经过线性映射之后，是同样的线性组合：（4

3、）如果是的一组线性相关向量，则是中的一组线性相关的向量；并且当且仅当是一一映射时，中线性无关向量组的像是中的线性无关向量组。证明：（1）（2）（3）可由线性映射的定义可证明（4）第一部分可通过性质（1）（3）得证。第二部分可分别假设是否为一一映射来讨论。若线性相关，则存在不全为零的数使得由性质（1）和（3）有故线性相关。若线性映射是一一映射，并且是中线性无关向量组，则对任一组不全为零的数，有。从而上式说明线性无关。反过来，加入线性映射不是一一映射，则存在，且，但，即而。这说明中线性无关向量的像是中线性相关的向量，这与条件矛盾，因此是一一映射。由性质

4、（3）（4），若是n维线性空间，是的一组基，则对任意有在线性映射下的像为这说明如果知道的一组基在线性映射下的像，则中每一个向量在下的像也就确定了。现在考虑线性映射的存在性，给出两个定理1.1.3【定理】【定理1】设，是n维线性空间到线性空间的两个线性映射，若是的一组基，并且，则。即若中的基向量在，下的像相等，则有。证明对任意，有因为故。该定理表明到的一个线性映射完全被它对的一个基的作用所决定。现在要问：给了数域P上的任意两个线性空间和，是否存在到的线性映射？此回答是肯定的，特别是当是有限维时，则有【定理2】设是n维线性空间的一组基，是线性空间的任意

5、n个向量，则存在到得惟一线性映射，使得证明先定义一个映射，使得成立，而后说明为线性映射。最后通过定理1得出这样的线性映射是惟一的。对任意，有令因为是的一组基，所以上式定义了到的一个映射。下面来证明是线性映射。在中任取两个向量，，于是有，按照所定义的的表达式，有因此，是线性映射。又故又由定理1知，线性映射是惟一的。1.2线性映射的运算1.2.1线性映射的乘法因为映射有乘法运算，而线性映射是映射的一种，故线性映射也有乘法运算。【定义】是n维线性空间到线性空间的一个线性映射，是n维线性空间到线性空间的一个线性映射，且，定义它们的乘积为：【性质】（1）线性

6、映射的乘积也是线性映射；（2）线性映射的乘积满足结合律；（3）线性映射的乘积一般是不可变换的，但对于恒等映射，则是可变换的。证明（1）对任意，有故线性映射的乘积是到线性映射（2）是n维线性空间到线性空间的一个线性映射，是n维线性空间到线性空间的一个线性映射，是n维线性空间到线性空间的一个线性映射。对任意，有（3）对于恒等映射，有：==1.2.2线性映射的加法由于线性空间有加法运算，因此可以定义线性映射的加法运算。【定义】，是n维线性空间到线性空间的两个线性映射，且，定义它们的加法为：【性质】（1）线性映射的加法还是线性映射；（2）线性映射的加法满足

7、交换律；（3）线性映射的加法满足结合律。（4）线性映射的乘法对加法有左右分配律，即：，证明（1）对任意，有从而线性映射的加法是n维线性空间到线性空间的一个线性映射（2）对任意，有从而线性映射满足交换律（3），和是n维线性空间到线性空间的三个线性映射，对任意，有从而线性映射满足结合律对于加法，零映射具有性质：1.2.3线性映射的负映射【定义】是n维线性空间到线性空间的一个线性映射，对任意，定义的负映射为：【性质】（1）可验证线性映射的负映射也是线性映射。（2）对于每一个线性映射，它的负映射满足由线性映射的负映射，可定义线性映射的减法。设，是n维线性空

8、间到线性空间的两个线性映射，且，定义它们的减法为：1.2.4线性映射的数量乘法利用线性映射的乘法和数乘映射可以定义线性映射