§6.2 分式线性映射

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1、§6.2分式线性映射一、分式线性映射分式线性映射定义为、　、　、　均为常数。其中条件　　　　　　是为了使因此分式线性映射是保角映射。在扩充复平面上补充定义如下：映射为当　　　时映射为映射为当　　　时对于分式线性映射容易求出该映射的逆映射由于因此分式线性映射的逆映射仍是分式线性容易验证分式线性映射的复合仍是分式线性映射。映射,且为扩充复平面上的一一映射。二、分式线性映射的分解当　　　时，可化为：记则上式可分解为以下映射的有限次复合下面分别讨论这四类映射：（1）设则映射化为平移公式（2）由则该映射保持　的模不变，辐角旋转　。为实数（3）则该映射保持　

2、的方向不变，模放大　倍。（4）（称为反演变换）该映射可分解为：为了讨论反演变换的几何意义，下面先给出关于圆周的对称点的定义：设　为以原点　为圆心，　为半径的圆周。在以圆心为起点的射线上，若有两点　与　，则称　与　关于圆周　对称。满足如图，从　作圆周　的切线　　，由　作　　的垂线　　与　　交于　，则　与　关于圆周　对称。规定：无穷远点关于圆周的对称点为圆心　。因此　　　　　，若设　　　　，则　　　　　　　，则　与　是关于单位圆周的对称点（如图）。又　　　　，轴的对称点（如图）。则　与　是关于实这样可得出反演变换　　　的几何意义。先求　关于单位圆周　

3、　　的对称点　，再求　关于实轴的对称点，即得　。三、分式线性映射的性质1、保角性对于映射显然在　　　时导数非零，是保角的。对于反演映射　　　，显然在　　　，时，导数非零，是保角的。下面定义两条曲线在无穷远点的夹角：规定其等于它们在映射　　　下所映成的通过原点　　　的两条像曲线的夹角。下面以　　　　　为例说明　　　处的保角性：令则　　　　　成为该映射在　　　处解析，且导数不为零，因此，在　　　处，即　　　　　在处是保角的。同理其它几个映射在　　　处也是保角的。类似地可以证明反演变换在　　　处是保角的。综上可得下面定理。定理6.6分式线性映射在扩充复

4、平面上是一一对应的保角映射。2、保圆性在扩充复平面上直线可看作是半径无穷大的圆周，以下提到圆周时均包括直线。为平移变换为旋转变换为将模放大　倍这三个映射在扩充复平面将圆周映成圆周，该性质称为保圆性。下面讨论反演变换　　　是否具有保圆性。平面上的圆方程为：令、则　　　变形为：整理得：、时为直线代入圆方程为：即：时为直线说明反演变换将复平面上的圆周映成圆周。定理6.7分式线性映射将扩充　平面上的圆周映射成扩充　平面上的圆周。(保圆性)3、保对称性引理6.1必要条件是，点　与　关于圆周　对称的充分经过　与　的所有圆周都与圆周　正交。（证略）定理6.8设

5、点　与　是关于圆周　的一对对称点，则在分式线性映射下，它们的像点　与　是关于　的像曲线　的对称点。（证略）