唯一确定分式线性映射的条件.ppt

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1、§3唯一确定分式线性映射的条件一唯一确定分式线性映射的条件二两个重要的分式线性映射1CH1_一唯一确定分式线性映射的条件定理在平面给定相异的三点在平面也给定相异的三点则存在唯一的分式线性映射使得证设依次将映射成即因此有2CH1_因此有这就是所求得分式线性映射。如果有另一个分式线性映射也依次将映射成重复上面的步骤，最后仍然得因此所求得分式线性映射是唯一的。3CH1_根据上面的定理可知，在两个已知的圆周分别取相异的三点，则必存在一个分式线性映射将映射成但这个映射将的内部映射成什么区域呢？首先注意到，在分式线性映射下，的内部(或一侧)不是映射成内部

2、（或一侧）就是的外部（或另一侧）。4CH1_因此在分式线性映射下，如果在内部(某侧)任取一点而的像在的像的内部(某侧),如果的像在的外部，则的内部(某侧)一定映射成外部。的内部则(某侧)一定映射成的内部(某侧)；5CH1_6CH1_设为上相异的三点，在分式线性映射下他们的法向分别为指向指定的区域，则我们可以用下面的方法来确定内部的像。我们规定正向分别为的走向，上的相异的三点他们的像为7CH1_8CH1_例1求一个分式线性映射使得点的像依次为解由于因此可设将代入得所以并问此分式线性映射将上半平面映射成什么区域？所以根据分式线性映射的保圆性，将由

3、确定的圆周(即实轴)映射成由确定的圆周(即虚轴）又由于所以将上面半平面映射成左半平且9CH1_根据上面的讨论可知：在分式线性映射下1）当两圆周上没有点映射成无穷远点时，这两圆周的弧所围成的区域映射成两圆弧所围成的区域。2）当两圆周中有一个圆周上的点映射成无穷远点时，两圆周的弧所围成的区域映射成圆弧与直线所围成的区域。3）当两圆周的交点的一个映射成无穷远点时，两圆周的弧所围成的区域映射成角形区域。10CH1_例2在分式线性映射下，区域映射成一个什么样区域。解与的交点为将分式线性映射映射成坐标原点，将映射成将原点映射成因此将虚轴部分映射成负实轴,

4、跟据分式线性映射原区域映射成的保角性,将11CH1_二两个重要的分式线性映射设为上半平面上任意一定点，在所求的分式线性映射下映射成单位圆的圆心根据分式线性映射的保对称性，关于实轴的对称点一定被映射成关于单位圆周的对称点因此设所求的分式线性映射为1将上半平面映射成单位圆的分式线性映射其中为常数。12CH1_又由于此分式线性映射将实轴的点映射成单位圆周上的点，特别将坐标原点映射成点所以因此所以所求的分式线性映射为这就是将上半平面映射成单位圆的分式线性映射的一般形式。13CH1_例3求将上半平面映射成单位圆的分式线性映射并满足解由条件即将平面的上半

5、平面的点映射成平面单位圆的圆心所以根据设由于固有利用得即14CH1_设为平面上的单位圆的一点，它被映成平面单位圆的中心根据分式线性映射的保对称性，关于单位圆周的对称点一定被映射成关于单位圆周的对称点因此可设所求的分式线性映射为又由保圆性可知上的点比如被映射成2将单位圆映射成单位圆的分式线性映射15CH1_因此即所以所求的分式线性映射为其中满足这就是将单位圆映射成单位圆的分式线性映射的一般形式。上的点，16CH1_将单位圆映射成单位圆的分式线性映射的一般形式例4求将单位圆映射成单位圆的分式线性映射，并满足解根据题意和设所求的分式线性映射为由得即

6、所求的分式线性映射为所以17CH1_例5求将映射成的分式线性映射，并满足解18CH1_因此可得又因所以为正实数，即因此所求的分式线性映射为19CH1_