惟一确定分式线性映射的条件.ppt

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1、惟一决定分式线性映射的条件含有a,b,c,d四个常数，其中有三个是独立的常数,因此,给定三个条件就能惟一确定分式线性映射.(1)分式线性映射的确定分式线性映射设是扩充z平面上三个互不相同的点，是扩充w平面上三个互不相同的点,则存在惟一的一个分式线性映射,将点依次映射成事实上,如果和都是有限点,设将依次映射成则于是从中可惟一地解出w,得到分式线性映射.如果和中含有无穷远点,把无穷远点用模充分大的有限数代替,得出形如的分式线性映射,然后让该点趋于无穷远点,即得要证明的结论.例如,若z3=,则用代替z3,得到分式线性映射

2、，令则于是如则理解为1.如则理解为1.问题圆域内部被映射成什么区域?(2)分式线性映射对圆域的映射结论:在分式线性映射下,C的内部不是映射成像G的内部就是映射成像G的外部.如果C或G中有直线,则按直线的某一侧来理解.方法1在圆周C内任取一点z0,如果z0的像w0在G内部,则C的内部映射成G的内部;如果z0的像w0在G外部,则C的内部映射G的外部.......方法2在C上取三个点如果环绕方向与它们的像在G上的环绕方向相同,则C的内部映射成G的内部;如果环绕方向相反,则C的内部映射成G的外部...........分式线性

3、映射的典型例子例1　求把上半平面映射成上半平面的分式线性映射.解在x轴上取三点使得它们依次对应于u轴上三点...于是所求的分式线性映射为化简可得注如果选取其他三对不同点,也能求出满足要求,但形式不同的的分式线性映射.并且与的环绕方向相同.w=az+b(a>0,b为实数),即相似和平移映射也满足要求.但它们是平凡的,没有实际意义.......例2　求把上半平面映射成单位圆内部的分式线性映射.解在x轴上取三点使得它们依次对应于u轴上三点(方法一)于是所求的分式线性映射为化简可得并且与的环绕方向相同.注同样,如果选取其他三

4、对不同点,也能求出满足要求,但形式不同的的分式线性映射.方法二解实轴映射成单位圆周.设上半平面中的点...a关于实轴的对称点映射成w=0关于的对称点z=.z=a映射成圆心w=0,由保对称性和,上半平面映为单位圆内部的分式线性映射一般形式说明则所求映射为其中k是待定常数.由于映射成上的点,所以设(q为实数),则取时,取时,(与方法一相同)例3求把上半平面映射成圆域内部的分式线性映射,使解　由例2中的解法二可知，映射把上半平面映射成单位圆内部1再作相似映射与平移映射，得(q为实数)这样,映射成且因为再由已知条件可见即所

5、以要求的分式线性映射是...例4　求把单位圆内部映射成单位圆内部的分式线性映射.解在内取一点z1=a0,设z1的像为w1=0.因为z1=a关于圆周的对称点是而条件...要求分式线性映射把映射成所以根据分式线性映射的保对称性,映射成w1=0关于的对称点这样的分式线性映射为其中是复常数.容易验证,当时,因为映射成所以当时,设(q为实数),则所求的分式线性映射为(q为实数).注旋转映射(q为实数)也满足要求.但它是平凡的,没有实际意义.例5求一个分式线性映射,把由两圆周所围成的偏心圆环域D映射成中心在w=0的同心圆环域G

6、,且使其外半径为1.yx(z)ODuv(w)OG解设所求分式线性映射把z平面内两点z1和z2分别映射成w平面内的w1=0和w2=.由于w1和w2同同时关于同心圆环域G的两个边界圆周对称,由分式线性映射的保对称性,z1和z2应同时关于圆周C1和C2对称.因此,z1和z2应在C1和C2的圆心连线上，即在实轴上,设根据对称性解方程得(或).下面只考虑的情形.由可知圆周C2映射成外边界这时于是所求的分式线性映射的形式为(k为复常数).因为z=0在和的内部,在C2取则于是由此可得即(q为实数).