浅析化归思想在数学中的应用

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1、浅析化归思想在数学中的应用　　许多学生在学习数学的过程中往往存在不少困难，再加上一些教师习惯于采取题海战术，既增加了学生负担，又花费了大量时间，效果却很不理想.若能在教学中渗透与强调几种常见的数学思想，帮助学生掌握一些重要的解题方法与策略，将会取得事半功倍的效果。本文将对通过几个例子对这一思想做简要探讨。　　所谓"划归思想"就是把我们所遇到的"陌生"问题转化为比较"熟悉"的问题，比较抽象的问题转化为比较直观的问题，比较复杂的、高维的问题转化为比较简单的低维的问题等。常用的划归策略有以下几类：　　一、般与

2、特殊的转化　　从一般与特殊的关系出发，有两种化归途径。一是将一般问题特殊化；二是把所给问题作为特殊形式，将特殊问题一般化。　　例：是否存在a，b，c，使An=an2+bn+c，且满足A1=1，3Sn=（n+2）An对一切自然　　数n都成立（其中Sn=A1+A2+∧+An），试证明你的结论.　　分析：因为a，b，c均为未知，要判断它是否使An=an2+bn+c，且满足A1=1，3Sn=（n+2）An对一切自然数n都成立，很难入手，但考虑到A1已给出，我们可以先求出其在特殊情况下a，b，c的值，再推广到一般

3、情形讨论.根据这一思路，由于3Sn=（n+2）An（其中Sn=A1+A2+∧4+An），可以求出A2和A3（3（A1+A2）=（2+2）A2，3（A1+A2+A3）=（3+2）A3，得A2=3，A3=6）　　这样可以得到一个关于a，b，c的方程组，由这个方程组解出的a，b，c的值就是n=1，2，3时的值（a=1/2，b=1/2，c=0），然后再用数学归纳法证明它是否对一切自然数均成立，问题变的容易多了.　　二、模型化　　在解应用题时，经常把实际问题抽象为数学问题，构造适当的数学模型，使应用性问题得以解决

4、.。　　例：从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规则：本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少1/5，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年比上年增加1/4.　　（1）n年内（本年度为第一年）总投入为An万元，旅游业总收入为Bn万元，写出An，Bn的表达式；　　（2）至少经过多少年，旅游业总收入才能超过总投入？　　分析：由于每年投入将比上年减少1/5，故逐年投入资金成首项为800，公比为4/5的等比

5、数列，An即为该数列的前n项和，所以An=4000[1-]；同理可求，Bn=1600[].第二题显然是求不等式An≤Bn的近似整数解，由此可得n=5（年）.　　三、具体与抽象的转化4　　解题时，对某些抽象的问题，可采用具体化的方法，如作图赋予问题以实际意义，从而在某种具体意义的指导下，讨论问题，寻求解答；也可将某一问题的具体内容暂时舍弃，仅就它的关系和结构形成一个纯粹数学的问题去进行讨论，从而得到原问题的解答.　　例：试证，在任意六个人中，至少有三个人相互认识或相互不认识.　　分析：将6个人抽象为6个点

6、，A，B，C，D，E，F相互认识就在两点之间连一条蓝线，而不认识则连一条红线，问题转化为证明必有同色三角形.考虑由点A引出的五条连线，因为只有两种颜色，故必有3条同色，不妨设AB，AC，AD同为蓝色.再考虑B，C，D，若其中有一条为蓝色，如BC，则有蓝色△ABC；若其中无一条为蓝色，即均为红色，则△BCD为红色三角形.原题得证.　　四、数与形的转化　　几何图形中往往蕴涵着一定的数量关系，而"数"又常常可以通过几何图形做出直观的描述和反映，解题时可把数和形结合起来考察，通过相互转化，达到化繁为简，化难为易

7、的目的.　　例：设x，y，z∈R，x，y，z>0，求证：+>.　　分析：注意到x，y，z>0，=表示以x，y为边，夹角为的三角形的第三边.同理，也有类似的意义.这样，作顶点为O的四面体（图3），　　使∠AOB=∠BOC=∠COA=，OA=x，OB=y，OC=Z则AB=，BC=，CA=，在△ABC中，AB+BC>CA，原不等式得证。　　五、化无限为有限　　无限与有限虽然有着质的差异，但也有着密切的联系，解决问题时常常把无限的问题化为有限的情形来讨论.　　例：设n∈Z，求证：f（n）=n3+2n能被3整除.

8、4　　分析：欲对无限个n一一验证，是难以实现的，注意到结论的特征，可将n按被3除所得余数进行分类，任意整数n可分为3m，3m-1，3m+1（m∈Z）三类，这样就将无限的问题转化成了有限的情况，原题很容易证明了。　　六、化正为反　　即将正面问题转化为与之相反的问题求解，常采用的有反证法、反例法。　　例：若a2，b2，c2成等差数列，问是否也成等差数列？　　分析：可以从分母为0的特殊情况出发，构造反例：当a=-b，c=-b时，a2，b2，c2成