化归思想在数学教学中的应用

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1、化归思想在数学教学中的应用　　化归是数学活动中一种最基本、而又具有普遍应用性的数学思想方法。化归内涵的核心就是“求变”，通过“求变”实现问题有效转化。本文通过对五种常用化归方法的分析，揭示化归方法在数学活动中的普遍应用性。　　思想方法化归转化数学活动　　数学从哲学中派生出来，成为最具有方法论价值的基础性工具性学科。[1]在数学方法论中，数学思想是指向个体内部的观念，是数学知识与方法在更高层次上抽象与概括而成的数学观点;数学方法则指向个体外部的操作，是数学思想的具体化与程序化。在数学活动中，数学思想与方法总是交融交织的。因此，常常不加区别地将它们统称

2、为数学思想方法。就数学思想方法的应用而言，化归是一种最基本、而又具有普遍应用性的思想方法。　　一、化归思想方法原理分析　　1.化归的内涵　　化归，即转化与归结的科学概括，实现问题由未知到已知，由难到易，由复杂到简单的转化并解决。8　　从方法论的角度讲，化归是使原问题归结为我们熟知的或简单的、直观的问题，它着眼于通过求变实现转化;从认识论的角度讲，化归是用一种事物的普遍联系与矛盾转化的观点来认识问题，它着眼于揭示联系实现转化。因此，化归内涵的核心就是“求变”，通过求变，实现方法创新、思维突破。　　2.化归的模式　　运用化归方法解决问题的过程，可以归结

3、为：先通过某种途径，将原问题转化为一个有成熟解决方案的问题*，然后通过对问题*的求解，得到原问题的解答。化归的一般模式如图1所示。　　　　3.化归的原则　　化归的目的在于实现问题的有效解决。化归应当遵循以下三个原则。第一，熟知性原则，即将生疏问题转化为熟悉而熟知的问题。第二，简单性原则，即将复杂问题转化为简单而容易的问题。第三，直观性原则，即将抽象问题转化为具体而形象的问题。　　总之，化归需要以已有的知识、经验、方法作为基础与引领。　　二、化归与数学活动　　客观事物是普遍联系的，而矛盾是对立统一而又相互转化的，这为化归方法提供了哲学基础。[2]数学

4、内部之间的逻辑联系、数学与客观世界之间的联系、以及方法与方法之间的联系等，为数学化归提供了可能性。因此，数学学科的特点及其哲学基础，使得化归成为数学活动中最基本而又具有普通应用性的方法。8　　数学严密的逻辑性，存在着大量的演绎论证。而演绎论证则是将原问题归结到某些已知定理（公理）上去，实质上是一种化归过程;数学高度的抽象性，具有形式化、符号化、模式化的特征，正是这些特征为化归方法提供了便利条件;数学具有广泛的应用性，在解决问题时，先是将其数学化、抽象化，创造出具有表现力的数学语言――数学模型，通过模型建立未知与已知之间的内在联系，从这种联系中规划解

5、决问题的思路，是化归思想的具体应用。　　数学活动中，大量运用观察与联想、归纳与类比、分析与综合等科学方法，是人们探索数学规律、寻求问题解决途径的重要方法。通过观察与联想，可以提出猜测、寻求原问题与熟知问题的内在联系，为问题转化提供思路;通过归纳与类比，可以探索化归的方向，为问题转化提供目标;通过分析与综合，可以从本质上、从量与质两个方面把握问题的内涵与外延，可以探求化归的数学模式，为问题解决找到有效途径。　　三、数学教学中几种常用的化归方法　　1.变换法　　数学活动中，变换法是较为常见的、实现由未知（难、复杂）向已知（易、简单）的化归。常见的变换方

6、法有：变式、变形、变条件、变结论等;有恒等变换、参数变换、坐标变换、几何变换等等。　　例如，参数变换法通过引入参数（换元）常常可以改变问题的外部形式与内部结构，把代数问题转化为几何或三角问题，把几何问题转化为代数问题或三角问题等，因而适用于数学各分支学科。[3]变换化这种思维方式在数学活动中是十分典型的。　　2.特殊化与一般化方法8　　由特殊到一般，由一般到特殊，即由具体到抽象，由抽象到具体，它们相互制约，互为补充，是化归的一种具体方法。[4]数学中，经常使用的归纳法与演绎法就是特殊化与一般化思想的集中体现。　　　　（1）从一般到特殊：特殊化　　特

7、殊化，即将所讨论的数学问题“退”到属于它的特殊状态（数量或位置关系、原始状态或最简单）下进行研究，从特殊状态下获得启发，从特例中抽象归纳出共性，从而获得一般情形的解决途径。　　面对某个一般性数学问题，如果直面难以解决，则可先退一步，解决其特殊情况。特殊情形往往简单、直观，并为我们所熟知，通过特例，可以给抽象的命题赋予具体内容和现实意义。然后通过对特例的考察为由特殊到一般的抽象提供必要的素材，将解决特殊情况的方法或结论推广到一般问题上，从而获得一般性问题的解答。最后，必要时还需借助新的特例来对获得的一般性结论进行验证。因此，特殊化的功能在于由随意的特

8、殊化，去了解问题;由系统的特殊化，为一般化提供基础;由巧妙的特殊化，去对一般性结论进行检验。[5]　　数学中，特殊化可以将