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1、相似在几何计算中的应用班级姓名成缋1.如图，在T行四边形过点A作?!£丄BC,垂足为£,连接D£,F为线段D£上一点，HZAFE=ZB.(1)求证：⑺△£)£/3,求A£的LC【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质.【专题】压轴题.【分析】(1)利用对应两角相等，证明两个三角形相似AadfcoADEC;(2)利用AAD?〜ADEC,可以求出线段DE的长度；然后在RtAADE中，利用勾股定理求出线段AE的长度.【解答】(1)证明：•••四边形ABCD是平行四边形，/.AB//CD，AD//3C,.••ZC+Z3=
2、18O°,Zadf=Zdec.•/ZAFD-ZAFE=180°，Zafe=Zb,.Zafd=Zc.在AADF与ADEC中，JZjFP=Zc^ADF=/LDEC.AADF（3）2=6-【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质和勾股定理三个知识点.题目难度不大，注意仔细分析题意，认真计算，避免出错.1.已知在AAB
3、C中，ZABC=90°,AB=3,BC=4.点Q是线段AC上的一个动点，过点Q作AC的垂线交线段AB（如图1）或线段AB的延长线（如图2）于点P.（1）当点P在线段AB上时，求证：AAQP⑺AABC;（2）当APQB为等腰三角形时，求AP的长.图2【专题】压轴题.【分祈】（1）由两对角相等（ZAPQ=ZC，Za=Za）,证明Aaqp⑺Aabc;（2）当△PQB为等腰三角形时、有两种情况、需要分类讨论.（I）当点P在线段A3上时，如题图1所示.由三角形相似〈△AQPcoAABC〉关系计算AP的长；（II〉当点？在线段AB的延长线上时，如题图2所示.利用角之间的关系，证明点B为线段A
4、P的中点，从而可以求出AP.【解答】(1)证明：YPQ丄AQ,.ZAQP=90°=Zabc,在AAPQ与AABC中，•••Zaqp=90°=Zabc,Za=Za,.AAQP<^AA3C.（2〉解：在RtAABC中，AB=3,BC=4,由勾股定理得：AC=5.•••ZQ3P为钝角，/.当APQ3为等腰三角形时，（I〉当点？在线段AB上时，如题图1所示./.当APQB为等腰三角形时，只可能是？B=PQ，由（1）可知，AAQPcoAABC,.PA=PQ9ACBC'545.AP=AB-PB=3--=-533即=解得：PB=
5、,(II)当点P在线段A3的延长线上时，如题图2所示.••
6、•ZQBP为钝角，/.当APQ3为等腰三角形时，只可能是PB=BQ.•••3P=BQ,.Z3QP=ZP；,.,Zbqp-Zaqb=90<>,ZA+ZP=90o,.'.Zaqb=Za,/.SQ=AB,/.AB=BP,点B为线段AP中点、.AP=2AB=2X3=6.综上所迷，当APQB为等腰三角形时，AP的长为
7、或6.【点评】本题考查相似三角形及分类讨论的数学思想，难度不大.第（2）问中，当△PQ3为等腰三角形时，有两种情况，需要分类讨论，避免漏解.1.将两块全等的三角板如图①摆放，K中ZAiCBFZACB:^%ZA,=ZA=30°.(1)将图①中的AAiBiC顺时针旋转45°得
8、图②，点P,是A:C与AB的交点，点Q是A,B,与BC的交点，求证：CP,=CQ；(2)在阁②中，若AP,=2，则CQ等于多少？(3)如1割③，在B,C上取一点E，连接BE、P.E,设BC=1,当BE丄P,B时，求APfE面积的最人值.【专题】压轴题.【分析】（1）先判断ZBKCrZSCPeG0、利用ASA即可证明△B1CQ妥ABCPn从而得出结论.（2）作丄CA于3,在RtADP!中，求出PW,在RtACDP,中求出CP^继而可得出CQ的长度.（3）证明△AP1CZiBEC,则有AP1:BE=AC:1,设AP!=x,则BE=fx,得出S、P1BE关于x的表达式，利用配方法
9、求最值即可.【解答】(1)证明：•••ZB1CB=45°，ZB,CA,=90°,•••在ABiCQ和ABCP!中,(ZBCQ=ZBCPiBC=BC，ZBi=ZB/.AB^Q^ABCPi(ASA),/.CQ=CPi；图®■••ZA=30°,/.PiD=
10、aPi=1,VZ?iCD=45°.PD..=sin45CP又•••CP1=CQ,/.CPi=42PiD=j2,(3>*ZPiBE=90°,ZA3C=60^,.ZA=ZCBE=30°,.AC=^3BC,由旋转的性质可得：
