使用导数解决与不等式有关的问题

《使用导数解决与不等式有关的问题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、使用导数解决与不等式有关的问题(河北省怀来县沙城中学河北怀来075400)　　：导数是研究函数性质的一种重要工具。无论是证明不等式，还是解不等式，只要在解题过程中需要用到函数的单调性或最值，我们都可以用导数作工具来解决。这种解题方法也是转化与化归思想在中学数学中的重要体现。　　关键词：导数；不等式；单调性；最值　　：G633.6：B：1672-1578（2012）05-0136-01　　导数是研究函数性质的一种重要工具。例如求函数的单调区间、求最大（小）值、求函数的值域等等。而在处理与不等式有关的综合性问题时往往需要利用函数的性质；因此，很多时侯可以利用导

2、数作为工具得出函数性质，从而解决不等式问题。下面具体讨论导数在解决与不等式有关的问题时的作用。　　1.利用导数证明不等式　　1.1利用导数得出函数单调性来证明不等式。我们知道函数在某个区间上的导数值大于（或小于）0时，则该函数在该区间上单调递增（或递减）。因而在证明不等式时，根据不等式的特点，有时可以构造函数，用导数证明该函数的单调性,然后再用函数单调性达到证明不等式的目的。即把证明不等式转化为证明函数的单调性。具体有如下几种形式：　　1.1.1直接构造函数，然后用导数证明该函数的增减性；再利用函数在它的同一单调递增（减）区间，自变量越大，函数值越大（小）

3、，来证明不等式成立。　　例：x>0时,求证；x－x22-ln(1+x)＜0　　证明：设f(x)=x－x22-ln(1+x)(x>0),则f、(x)=x21+x∵x>0,∴f(x)0时,f(x)a>e,求证:ab>ba,(e为自然对数的底)　　证：要证ab>ba只需证lnab>lnba即证：blna－alnb>0　　设f(x)=xlna－alnx(x>a>e)；则f、(x)=lna－ax,∵a>e,x>a∴lna>1,ax0,因而f(x)在（e,+∞）上递增　　∵b>a,∴f(b)>f(a)；故blna－alnb>alna－alna=0；即blna>alnb

4、　　所以ab>ba成立。　　(注意，此题若以a为自变量构造函数f(x)=blnx－xlnb(e0时xblnb　　故f(x)在区间（e,b）上的递减,但要证明e>blnb则需另费周折，因此，本题还是选择以a为自变量来构造函数好，由本例可知用函数单调性证明不等式时，如何选择自变量来构造函数是比较重要的。）　　1.2利用导数求出函数的最值（或值域）后，再证明不等式。导数的另一个作用是求函数的最值,因而在证明不等式时，根据不等式的特点，有时可以构造函数，用导数求出该函数的最值；由当该函数取最大（或最小）值时不等式都成立，可得该不等式恒成立。从而把证明不等式问题转化

5、为函数求最值问题。例、求证：n∈N*,n≥3时，2n>2n+1　　证明：要证原式，即需证：2n－2n－1>0,n≥3时成立　　设f(x)=2x－2x－1(x≥3),则f、(x)=2xln2－2(x≥3),　　∵x≥3,∴f、(x)≥23ln3－2>0　　∴f(x)在[3，+∞）上是增函数，∴f(x)的最小值为f(3)=23－2×3－1=1>0　　所以，n∈N*,n≥3时，f(n)≥f(3)>0,即n≥3时,2n－2n－1>0成立，　　例、g(x)=(xar-1)2+(bx-1)2的定义域是A=[a,b)，其中a,b∈R+,a　　x1∈[k2,(k+1)2,

6、x2∈[(k+1)2,(k+2)2)求证:g(x1)+g(x2)>4k(k+1)（k∈N*）　　证明：由题知g(x)=2xa2-2a+2bx2-2b2x3　　g'(x)=2xa2-2a+2bx2-2b2x3=0时x4－ax3－a2b2+a2bx=0　　即(x4－a2b2)－ax(x2－ab)=0,化简得(x2－ab)(x2－ax+ab)=0　　所以x2－ax+ab=0或x2－ab=0，∵0　　故g、(x)>0时x∈[abb),g、(x)4k(k+1)（k∈N*）成立　　总之，无论是证明不等式，还是解不等式，只要在解题过程中需要用到函数的单调性或最值，我们都

7、可以用导数作工具来解决。这种解题方法也是转化与化归思想在中学数学中的重要体现。