导数的应用一—与方程、不等式有关

《导数的应用一—与方程、不等式有关》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。

1、导数的应用一——与方程、不等式有关一．利用导数处理方程根的问题【例l】在(0，e]内是否有解?【例2】已知方程，根据以下条件求实数的取值范围；(1)无实根；(2)有两个不等的实根。【例3】讨论方程的根的个数。【方法归纳】方程根的问题分两大类第一大类：无参数的(存在性问题)可转化为两个函数的交点问题或画一个函数的图象，查看零点问题。第二大类：有参数的(求参数的取值范围问题)处理方法：(1)转化为一个函数图象，查阅零点问题：(2)画两个函数图象，转化为两个函数的交点问题。(3)分离参数，转化为一条直线与一个函数图

2、象的交点问题。(3)是(2)的特例。二．利用导数证明不等式【例4】已知，证明不等式：【例5】设为实数，函数求证：当，且时.7【例6】已知，，其中e是自然常数，求证；【例7】设，(I)令，讨论在(0．+∞)内的单调性并求极值；(II)求证：当时，恒有【方法归纳】利用导数证明不等式的解题策略：证明：的方法：（1）令，证：（2)证三．巩固练习1．方程，在无解，求实数的范围。2.已知函数，若关于的方程有实数解，求实数k的取值范围。73．已知函数求证：对任意的正数恒有4．已知函数(1)求的最小值；(2)证明：对一切都有

3、5．已知函数，，若对任意的都有，求实数的取值范围6．已知函数(1)当时，且关于的方程在有两个实根，求m的范围；(2)当，求的单调区间。(3)求证：7参考答案例1．【解析】方法一：令，因为，所以无解。方法二：转化为两个函数图象的交点问题两个函数无交点，所以无解。例2．【解析】(1)(2)分离参数得：画与两个函数图象。当时，，所以实数的取值范围是例3．【解析】方法一：分离参数方法二：转化为两个函数图象的交点问题，分别画和的图象当时，方程无根。当时，方程只有l个根。当时，方程有两个根。例4．【解析】构造函数，证明：

4、例5．【解析】构造函数，当时，的最小值为，当且时，，所以当，且时，例6．【解折】∵，∴当时，，此时单调递减当时，，此时单调递增∴的极小值为的极小值为1，即在(0，el上的最小值为l，7，令，当时，，在(0，e]上单调递增例7．【解析】根据求导法则有故于是列表如下：故知在(0，2)内是减函数，在(2，+∞)内是增函数，所以，在处取得极小值(Ⅱ)证明：由知，的极小值，于是由上表知，对一切恒有，从而当时，恒有，故在(0，+∞)内单调增加．所以当时，，即故当时，恒有三．巩固练习练习l．【解析】方法一：分离参数令，在是

5、增函数，所以7所以方法二：，与在无交点，练习2．【解析】由得：令当，，显然时，，单调递减，时，，单调递增。时，又为奇函数时，的值域为(-∞，-1]∪[1，+∞)∴若方程有实数解，则实数k的取值范围是(-∞，-l]∪[1，+∞)．练习3.【解析】函数的定义域为(-1，+∞)，∴当时，，即在上为减函数当时，，即在上为增函数因此在时.取得极小值，而且是最小值于是从而，即令，则，于是因此练习4．【解析】．(1)，当时，7当时，，所以当时，(2)：对一切，都有即要证：对一切，令，可求得当，，所以对一切，，练习5．【解析

6、】设在[0，+∞)恒成立若，显然，若，令，解得，当时，当时，∴当时，即解不等式得，练习6．【解析】(1)(2)当时，的递增区间是，递减区间是当时，的递增区间是[1，+∞)，递减区间是(0，1）(3)构造函数，裂项求和证明。7