指对数运算与指数对数函数专题

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1、-指对数运算及幂指对函数专题本专题重点:指数幂的运算性质、对数的运算性质;指数函数、对数函数的概念、图象和性质。指数函数和对数函数的性质与底数的取值有关,在求解含有参数的指数函数、对数函数、幂函数问题时,常运用划归思想,将复杂的问题化为较简单的问题,应注意分类讨论、数形结合、类比、换元等数学思想和方法的灵活应用。1.(1)计算:;(2)化简:。解:(1)原式=;(2)原式=。点评:根式的化简求值问题就是将根式化成分数指数幂的形式,然后利用分数指数幂的运算性质求解,对化简求值的结果,一般用分数指数幂的形式保留;一般的进行指数幂运算时,化负指数为正指数,化根式为

2、分数指数幂,化小数为分数运算,同时兼顾运算的顺序。2.(1)已知,求的值解:∵,∴,∴,∴,∴,----∴,又∵,∴。点评:本题直接代入条件求解繁琐,故应先化简变形,创造条件简化运算。对数运算1.计算(1);(2);(3)解:(1)原式;(2)原式;(3)分子=;分母=;原式=。2.设、、为正数,且满足(1)求证:;(2)若,,求、、的值。证明:(1)左边;----解:(2)由得,∴……………①由得………………………②由①②得……………………………………③由①得,代入得,∵,∴………………………………④由③、④解得,,从而。指数、对数方程1.(江西师大附中2

3、009届高三数学上学期期中)已知定义域为R的函数是奇函数.(1)求a,b的值;(2)若对任意的,不等式恒成立,求k的取值范围.解(1)因为是R上的奇函数,所以从而有又由,解得(2)解法一:由(1)知由上式易知在R上为减函数,又因是奇函数,从而不等式等价于因是R上的减函数,由上式推得即对一切从而解法二:由(1)知又由题设条件得即整理得,因底数2>1,故上式对一切均成立,从而判别式2、设,若函数,有大于零的极值点,则(B)A.B.C.D.【解析】,若函数在上有大于零的极值点,即----有正根。当有成立时,显然有,此时,由我们马上就能得到参数的范围为.第三节幂函数

4、、指数函数及对数函数2013.3中学数学若函数是指数函数,则。已知当时,有,则的大小关系是。已知,函数,若实数满足,则的大小关系是。若关于的方程有正根,求的取值范围.若函数有两个零点,求的取值范围.若函数在区间上的最大值是最小值的3倍,则.典例1已知,求实数取值范围。分析:左右两边幂的形式中,底数不同,幂指数相等。可利用幂函数是上的单调增函数的性质得到实数的取值范围。练习1、已知,求实数取值范围。答案:注意取值范围。答案:2、已知,求实数取值范围。分析:幂函数在上单减,在上单减。或或故实数取值范围。----1、已知,求实数的取值范围。分析:考察幂函数和的图像

5、,得到实数的取值范围是4、(05江西理10)已知实数a,b满足等式下列五个关系式①0

6、该题考察了幂函数的性质,由于幂函数在第一象限的图像趋势表明函数在上单调递减,此时只需保证,即,有;同时函数只在第一象限有图像,则函数的定义域为,此时定为偶数,即为偶数,由于两个数互质,则定为奇数答案:选项为B。2、(06陕西理4)设函数f(x)=loga(x+b)(a>0,a≠1)的图象过点(2,1),其反函数的图像过点(2,8),则a+b等于(C)A.6B.5C.4D.3解:反函数的图像过点(2,8),则原函数的图像过点(8,2),故:故选C.另解:函数f(x)=loga(x+b)(a>0,a≠1)的图象过点(2,1),其反函数的图象过点(2,8),则,∴

7、,或(舍),b=1,∴a+b=4,选C.3、方程的解为,方程的解为,求的解。答案:4、(09辽宁理12)若满足,满足,则+=(C)----【解析】:,,即,,作出,的图像(如图),与的图像关于对称,它们与的交点A、B的中点为与的交点C,,∴+=。5、(09湖南理8)设函数在内有定义.对于给定的正数K,定义函数取函数。若对任意的,恒有,则【D】A.K的最大值为2B.K的最小值为2C.K的最大值为1D.K的最小值为1解:由恒成立知,故K有最小值,可排除A,C,因此只需求f(x)的最大值。由直觉知所以时f(x)的最大值,代入原函数得知;或推理计算,又由得时,并且由

8、知函数f(x)在处取得唯一的极大值,,,排除B,因此

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