无穷级数经典习题.pdf

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1、一.选择题1.设为常数,则级数(A)绝对收敛.(B)发散.(C)条件收敛.(D)敛散性与取值有关.解.绝对收敛,发散,所以发散.(B)是答案2.设,则(A)与都收敛.(B)与都发散.(C)收敛,而发散.(D)发散,收敛.解.由莱布尼兹判别法收敛,.因为,发散,所以发散.(C)是答案.3.设函数,而.其中,则等于(A),(B),(C),(D)解.是进行奇展拓后展成的富氏级数.所以=.(B)是答案.4.设条件收敛,则(A)收敛,(B)发散,(C)收敛,(D)和都收敛.解.因为条件收敛,所以.对于(C),所以.(C)是答案.5.设级数收

2、敛,则必定收敛的级数为(A)(B)(C)(D)解.收敛,所以收敛.收敛级数的和收敛.所以(D)是答案.对于(C)有以下反例:,,.所以发散.6.若在处收敛,则此级数在处(A)条件收敛,(B)绝对收敛,(C)发散,(D)收敛性不确定.解.因为在收敛,所以收敛半径大于2.幂级数在收敛半径内的任何点都绝对收敛.(B)是答案.7.设幂级数的收敛半径为3,则幂级数的必定收敛的区间为(A)(－2,4)(B)[－2,4](C)(－3,3)(D)(－4,2)解.和有相同收敛半径.所以,在(－2,4)中级数一定收敛,在端点级数不一定收敛.所以答案为(A

3、).二.判断下列级数的敛散性:1.解.因为,所以和有相同的敛散性.又因为发散,由积分判别法知发散.所以原级数发散.2.解.因为,所以和有相同的敛散性.收敛,所以原级数收敛.3.解.,所以级数发散.4.解.,所以级数收敛.5.解.，所以级数收敛.6.解.拉阿伯判别法:,.>1,所以级数收敛.7.解.,级数收敛.8.解.,级数收敛.9.解.考察极限令,=所以,即原极限为1.原级数和有相同的敛散性.原级数发散.10.解.,级数发散.三.判断下列级数的敛散性1.解.因为,级数发散.2.解.,令当x>0时,,所以数列单减.根据莱布尼兹判别法级数

4、收敛.因为,而发散,所以发散.原级数条件收敛.3.解.因为,所以收敛,原级数绝对收敛.4.解.因为所以收敛,原级数绝对收敛.5.解.=1,收敛,原级数绝对收敛.6.解..因为,又因为,条件收敛,所以原级数条件收敛.四.1.设正项数列单调下降,且发散,证明:级数收敛.2.设正项数列,满足为常数),证明:级数收敛.证明:1.因为正项数列单调下降,且发散,由莱布尼兹判别法,存在,且.容易证明:.(反设存在N,使得.则,令,得到,矛盾).所以.因为收敛,所以收敛.2.考察数列,因为为常数),所以,即该数列递减有下界,于是存在.由此推出收敛.,

5、所以级数收敛.五.求下列级数的收敛域:1.解.第一个级数的收敛半径为,第二个级数的收敛半径为1.所以它们的共同收敛区域为.考察端点:当时,得第一个级数发散,第二个级数收敛.所以该级数发散.原级数的收敛区域为.2.解.,于是.当时,得,收敛;当时,得,收敛.于是原级数的收敛区域为[－1,1].3.解..当时,得数项级数及,通项都不趋于0,发散.该级数的收敛区域为.4.解.第一个级数的收敛区域(－1,1);第二个级数的收敛区域.所以公共收敛区域为.5.解..当时得数项级数,发散.该级数的收敛区域为(－2,4).6.解..当时,得收敛,当时

6、,得发散敛.该级数的收敛区域为[4,6).