D11无穷级数习题课.pdf

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1、习题课第十一章级数的收敛、求和与展开一、数项级数的审敛法二、求幂级数收敛域的方法三、幂级数和函数的求法四、函数的幂级数和付式级数展开法机动目录上页下页返回结束求和(在收敛域内进行)展开时为数项级数;时为幂级数;(an,bn为傅氏系数)时,为傅立叶级数.基本问题：判别敛散；求收敛域；求和函数；级数展开.机动目录上页下页返回结束一、数项级数的审敛法1.利用部分和数列的极限判别级数的敛散性2.正项级数审敛法必要条件limu0发散n不满足n满足un1比值审敛法lim部分和极限nun1不定比较审敛法根值审敛法limnu用它法判别

2、n积分判别法n11收敛发散机动目录上页下页返回结束3.任意项级数审敛法概念:为收敛级数若收敛,称绝对收敛若发散,称条件收敛Leibniz判别法:若且则交错级数收敛,且余项机动目录上页下页返回结束例1.若级数均收敛,且证明级数收敛.证:0cnanbnan(n1,2,),则由题设(bnan)收敛(cnan)收敛n1n1[(cnan)an]n1(cnan)an收敛n1n1练习题:P2571;2;3;4;5机动目录上页下页返回结束解答提示:P257题2.判别下列级数的敛散性:n

3、n提示:(1)lim1,0,N,n1nn1因调和级数发散,据比较判别法,原级数发散.机动目录上页下页返回结束利用比值判别法,可知原级数发散.ncos2n用比值法,可判断级数收敛,(3)3:nn12再由比较法可知原级数收敛.11因n充分大时10,发散,nlnn∴原级数发散.na(5)(a0,s0):用比值判别法可知:sn1na1时收敛;a1时发散.s1时收敛;a1时,与p级数比较可知s1时发散.机动目录上页下页返回结束P257题3.设正项级数和都收敛,证明级数也收敛.提示:因limun

4、limvn0,存在N>0,当n>N时nn又因222(uv)nn利用收敛级数的性质及比较判敛法易知结论正确.机动目录上页下页返回结束P257题4.设级数收敛,且问级数是否也收敛？说明理由.提示:对正项级数,由比较判别法可知收敛,但对任意项级数却不一定收敛.例如,取n(1)1vnnnnvn(1)lim1lim1nunnn级数收敛,级数发散.机动目录上页下页返回结束P257题5.讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性:sinn1n1(2)(1);n1n1nn1(3)(1)ln;nn1提

5、示:(1)P>1时,绝对收敛;0

6、结束二、求幂级数收敛域的方法•标准形式幂级数:先求收敛半径R,再讨论xR处的敛散性.通过换元转化为标准形式•非标准形式幂级数直接用比值法或根值法练习:P257题7.求下列级数的敛散区间:机动目录上页下页返回结束1n解:limnanlim(1)ennn111R,即x时原级数收敛.eee1n(1)n1当1n(1)n1ex时,uenen110(n)e11因此级数在端点发散,故收敛区间为(,).ee机动目录上页下页返回结束u(x)x2解:因n1limlimnun(x)n

7、22x当1,即2x2时，级数收敛;2当x2时,一般项unn不趋于0,级数发散;故收敛区间为(2,2).机动目录上页下页返回结束例2.解:分别考虑偶次幂与奇次幂组成的级数注意:∵原级数=极限不存在∴其收敛半径Rmin{R,R}1124机动目录上页下页返回结束三、幂级数和函数的求法•求部分和式极限•初等变换法:分解、套用公式•映射变换法（在收敛区间内）naxnanx逐项求导或求积分nn0n0难求和*S(x)S(x)对和式积分或求导•数项级数直接求和:直接变换,求部分和等求和间接求和:转化成幂级数求和,再代值机动目

8、录上页下页返回结束例3.求幂级数法1易求出级数的收敛域为x1xsinxcosx,22机动目录上页下页返回结束法2先求出收敛区间设和函数为则12xsinx21x