无穷级数必考经典习题(附答案).pdf.pdf

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1、无穷级数同步测试题号一二三总分得分一、单项选择题1．下列结论中，错误的是（）2()A若limun0，则级数un发散.n→n=12()B若级数un绝对收敛，则un收敛.n=1n=12()C若级数un收敛，则un收敛.n=1n=12()D若级数un收敛，则limun=0收敛.n→n=1n2．已知幂级数axn(−1)在x=0处收敛，在x=2处发散，则该级数的收敛域（）n=1()[0,2)A()(0,2]B()(0,2)C()[0,2]Dnnaxn3．已知幂级数axn的

2、收敛半径R=1，则幂级数的收敛域为（）n=1n=0n!()(1,1)A−()[1,1)B−()(1,1]C−()(D−+,)n−1x4.设常数x0，则级数(1)−sin（）.n=1n()A发散()B条件收敛()C绝对收敛()D收敛性与x有关二、填空题1n5.级数n()的和为.n=121n!6．lim=.2n→(!)n21n17．已知级数2=，则级数(1)−=2.n=1n6n=1n121n+8．幂级数x的和函数Sx()=.n=0n!三、解答题9.判断下列运算过程是否正确，

3、若不正确，指出错误所在，并给出正确解法.n(1)−级数是交错级数，它不是绝对收敛的.nn=2n+−(1)11又由于lim=0，但u=不是单调递减的，由此得出该级数不nn→nnn+−(1)n+−(1)满足莱布尼茨定理的第二个条件，故级数发散.nx10.讨论级数2n(x0)的敛散性.n=1(1+x)(1+x)(1+x)111.求级数n的和.n=1nn(2+1)2212.将fx()=−ln(3xx)展开为x−1的幂级数.1352n−113.求极限lim(++++).23nn→2222369

4、3nxxxx14.验证函数yx()1=++++++(−+x)满足微分方程3!6!9!(3)!n3nxxyx()+yx()+yx()=e，并求幂级数的和函数.n=0(3)!n第九章多元函数微分法及其应用同步测试B答案及解析一、单项选择题2题号1234答案CADB答案详细解析1.解利用级数的性质.22若limun0，则limun0，因此级数un发散，()A正确；n→n→n=12un若un绝对收敛，即un收敛，则limun=0，lim=limun=01n→nn→u

5、→n=1n=1n2根据正项级数的比较审敛法知un收敛，()B正确；n=122若级数un收敛，则limuunn=0lim=0，()D正确；nn→→n=1n121故选()C.事实上，令un=−(1)，则un收敛，但un=发散.nn=1nn==11n『方法技巧』本题考查级数收敛的必要条件及正项级数的比较审敛法.『特别提醒』比较审敛法只限于正项级数使用.n2.解由于幂级数axn(−1)在x=0处收敛，则该级数在以1为中心，以n=10和1之间的距离1为半径的开区间x−11，即0

6、2x内，级数绝对收敛.又级数在x=2处发散，则在以1为中心，以1和2之间的距离1为半径的区间外x−11，即x0或x2内，级数发散.因此级数的收敛区间（不含端点）为(0,2)，则收敛域为[0,2)，故选()A.『方法技巧』本题考查幂级数的阿贝尔定理.『特别提醒』阿贝尔定理经常出现在各类考试的选择题或填空题中，要求大家熟练掌握它.3nan3.解由于axn的收敛半径R=1，则有lim=1.n→an=1n+1annaxn=n!=an+=+幂级数的收敛半径为Rnlimlim(1)，因此收

7、敛n=0n!nn→an+1→an+1(n+1)!域为(−+,)，故选()D.『方法技巧』本题考查幂级数的收敛半径和收敛域.由于级数是标准的幂级数，直接代入公式即可求出收敛半径R=+.xx4.解由于存在充分大的n，有,sin0，所以从某时刻开始，级nn2k−1xxxx数(1)−sin是交错级数，且满足sin=sin,limsin0，即满足莱布kn=kk+1kk→k尼茨定理的条件，所以此交错级数收敛，而前有限项（n−1项）不影响级数的敛n−1x散性，因此原级数(1)−sin收敛

8、.n=1nxsinnn−1xx又由于lim=x0，因此级数(1)−=sinsin发散，所以原级n→1nnnn==11nn−1x数(1)−sin条件收敛，故选()B.n=1n『方法技巧』本题考查正项项级数的比较审敛法及绝对收敛、条件收敛的概念和级数的性质.『特别提醒』解题中需要说明，此级数可能不是从第一项就是交错级数，从某项以后为交错级数，而前有限项不影响级数的敛散性.二、填空题225.x26.07.−8.xe12答案详细解析n5.解考