有趣的循环小数

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1、有趣的循环小数：本文讲述了几种类型的循环小数的循环节，主要以除数为质数举例简单分析了其循环节奇妙现象的内在原因，发掘了循环小数更多的趣味性。　　1、循环小数　　1、1循环小数的产生　　循环小数是由一个被除数除以一个除数，其余数永远不为零时，便会产生循环小数。在所有的除数当中，任可不带循环节的数除以都不会产生循环小数，而当除数为2时，其得数与乘以5以后再除以10是一样的，同样，当除数为5时，其得数与乘以2以后再除以10相同，这两种情况也不会产生循环小数。在10进制中，除了的因数（例如2、5、4、等）之外的除数，都会产生循环小数。　　1．2循环节　　把一个真分数a/b（0＜a＜

2、b且a、b都为整数，b为质数，本文中凡a/b均与此条件相同）化成小数的过程中，若只能产生一个循环节，则分别从除数为1到除数为(b-1)的计算过程中，结果都只是把首位数字变为尾位数字这样的一个过程。就像一个铁环，不断地在地上滚动，只是接触地面点不断的变化一样。　　循环节与其被除数的关系　　2．1在讨论循环节与其被除数关系之前，先让我做一下说明，任何一个十进制数C,都可以表示为（C-1）后边跟以9为循环节的形式，例如，２可以为化为1.循环小数的形式，0.17可化为1.76循环小数的形式。请让我把这种形式暂时定义为数字的动态形式。从极限的角度看是成立的。　　2．2循环节的位数及个

3、数与一个真分数a/b中质数b有关，所有的十进制数a都可化成循环节为9的循环小数，在计算过程中,先计算1/b的情况，且把平常补0的形式改成以补9的形式进行计算，于是不难看出，循环节的位数最多为b-1位，即有b-1位9组成的数字是b与其产生的循环节的乘积。在a/b化小数的计算过程中，所得的循环节a乘以由1/b产生的循环节即可得到。例：1/3小数点后第一位9就能被3整除，循环节为3，2/3的循环节为2*3=6。所以当b为3时，在余数后补一个9就能产生一个一位的循环节了，b为11时，两个99就能产生一个二位数的循环节，当b为41时，小数点后补5个9就能产生一个循环节了。当b为一个质

4、数时，若t个9就能产生一个循环节，即b为t位9组成的数的一个因数，b能产生的循环节有（b-1）/t个，每个循环节的位数为t位。　　3、循环节的奇妙性质　　3.1在a/b中，b为质数，a为从1到(b-1)中的任意整数，且ad=b，那么由余数为a时产生的循环节与余数为d时产生的循环节之和为由9组成的数。例①：1/3的循环节3与2/3的循环节6之和为9。例②：1/11的循环节与10/11的循环节09与90是同一个循环节的两个形式，也就是说1/11化小数的过程中出现了余数为10的情况，10=11-1，那么这个循环节自身前后两部份之和也为9组成的数，09=9。例③：1/7产生的循环节

5、为142857，而6/7产生的循环节为857142，那么142857857142=999999，实际上1/7与6/7产生的环是相同的，都是142857，因为在1/7化小数的过程中也出现了余数6的情况。例④：1/41与40/41的循环节分别为02439、97560，相加后为99999，如果在同一个循环节里前后两部份和为由9组成的数字时，人们称为半九律，而相同除数下产生的循环节中，某循环节与别的循环节也会出现这种相加为9组成的数字，请暂时允许我称着它和九律，把半九律和它和九律现象统称为合九律。　　3.2在a/b产生的循环节中，从循环节上的某位数字开始，依次用后一位数字减去前一位

6、数字的结果会形成互为相反的两组数。这种情况可能在本个循环节里出现，也许出现在d/b中，且ad=b。⑴：以1/17为例，其循环节为0588235294117647，依次用循环节上的后一位数减去前一位数：5-0=58-5=38-8=02-8=-63-2=15-3=22-5=-39-2=7；4-9=-51-4=-31-1=07-1=66-7=-14-6=-27-4=30-7=-7，前半部份与后半部份刚好形成相反数字关系。⑵：以41为例，能产生的循环节有8个，每个有5位数字，即：02439、04878、07313、09756、12195、14634、26829、36585。以b为1

7、与b为40时产生的循环节02439与97560为例，把0243997560=99999，且2-0=2、4-2=2、3-4=-1、9-3=6、0-9=-9，而7-9=-2、5-7=-2、6-5=1、0-6=-6、9-0=9。前一个循环节计算后的结果与后一个循环节计算后的结果是两组符号相反的数。(3)：质数3产生的循环节同样具有以上规律，1/3的循环节为3，而2/3的循环节为6，36=9，3-3=6-6=0。　　以上这种情况都是由于3.1中合九律的原因，以1/7的循环节142857为例，其中4-1=3与（9-4）-（9