管网基本定理及其数学模型

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1、管网基本定理及其数学模型摘要：本文讨论水力模型的基本形式和管网中管件的定理，以及在水力分析中的应用。作者提出了管网部件的概念，并给出管件的定义及其组合基本定理。文中指出根据基本定理的两个重要参数―管件的比例系数和管件的指数系数，可以确定管件任一断面的幂函数数学模型，并给出模型的求法。文中也讨论基本定理的应用和管网水力学分析方法。关键词：管网水力学模型管件一、引言一般管网的管段水力计算沿用理论公式或经验公式，在国外它们也称为Darcy-soBodyTextstyle="TEXT-INDENT:22.85pt"

2、>Darcy-soBodyTextstyle="TEXT-INDENT:23.3pt">一般沿程阻力系数f=f(Q),即f是流量Ｑ的函数，但在紊流的流态时，f与Ｑ无关。Hazen-soBodyTextstyle="TEXT-INDENT:23.3pt">这里如管网布置完成，管长、管道采用的材料已确定，两者经变换可得到统一的形式，不妨将两者的写成统一的形式如下：（１）式中：a,b―为不等于零的待定实数。根据GBJ85-85《喷灌工程技术规范》给出的水头损失计算公式，，容易得到：，。在紊流的流态时，一般b为的实

3、数。即在其有意义的定义域为单调增的幂函数。图１图１即为式（１）的函数曲线。定义１：将式（１）所表达的函数曲线称为管件的流量压力特征曲线。定义２：将对水流呈现阻力并消耗能量的管网部件称为管件。管件具有式（１）所示的数学模型。根据定义２，也将式（１）称为管件的幂函数数学模型。不难看出式（１）对局部损失也成立，故管件数学模型也可用来表示管网中产生局部损失的部件。这样，管件就将管网中的管段、管接头、闸阀、三通和喷头等管网中的部件包含在内，它们在管网中都表现为消耗水能，故它们都有如式（１）的相同数学模型。定义３：对于

4、在管网中能提升管道压力，并向管网提供水量的部件称为水源部件。简称：水源。一般的水源部件有：水泵、高位水塔、水库等。对于水泵其数学模型一般采用以下方程：（２）式中：Ａ、Ｂ、Ｃ―为常数。对于理想的水库，其模型可表示为：　　　　　　　　　　　（３）其中：Ｃ―为常数。一般水源数学模型总可以表示为：（４）式中：a―为指数系数。三、管件组合数学模型1.管件组合模型定理１：任何管件的组合，其组合后的管件，以管件断面的流量和压力水头表示的数学模型具有幂函数的形式。即无论组合前和组合后管件数学模型都是幂函数，只是它们的比例系

5、数和指数系数的值有所变化。证明如下：这里用数学归纳法证明之。（１）当n=1时其中Ｈo是第一个管件的出水端断面位置水头，该水头是相对的。当以第一个管件的首端断面定为基准点时，Ｈo=0（以下如没有特别指出Ｈ表示断面的压力水头，Ｑ表示通过断面的流量）则这就是说n=1时定理１成立。（２）假设当n=k时，有对于没有流量交换的管件，上面的定理１成立，则那么，管段的进水端k+1不失一般性，不妨设，因幂函数在定义域的第一象限内是单调增函数，总存在一个使得令则有：即成立。对于有流量交换的管件这里用q来表示管件进口端的流量与出

6、口端流量的不同。虽然，但两者具有可互换性，如，用以上方法，同理可得如，因幂函数在定义域的第一象限内是单调增函数，总存在一个使得综上所论，可得成立，证毕。2.流量与压力水头互为幂函数定理2：管件中的流量Ｑ与压力水头Ｈ互为幂函数的映射。该定理容易从可以推得只要令：即可。从以上分析中可知定理2成立。以下称：a,b为管件的流量系数，管件的流量指数；­为管件的压力水头系数，管件的压力水头的指数。3.管件两端模型之间的关系（１）对于没有流量交换的管件已知管件进水端的幂函数模型，可以求出管件出水端的幂函数表达式。

7、已知：，由于即图２等式右边已知，令，并两边取自然对数，则有在管件幂函数有意义的第一象限，取Q=1，Q=e两点可得（５）（６）（２）对于有流量交换的管件已知进水端的：令两边取对数，则有图３如已知上述函数曲线上的两点可用以下线性方程组（７）求出a2和b2。4.管件简单联接方式（１）串联如图4所示的抽象管网中，我们称之为串联管网。把管件一个接着一个地串接在一起，中间没有分岔，在水源部件的作用下，水流只有一条通道，这种联接方式称为管件的串联。如将管件的hf称为管阻，即如串联管件用同一种材料做成，水流的流态处在紊流区

8、，bi=b。则即串联管件的等效管件其参数图４（８）（２）并联把管件的一端都联接在同一点，另一端都联接在另外一点，在水源部件的作用下，它们两端的水压都相同，这种联接方式称为管件的并联。见图7如并联管件用同一种材料做成，水流的流态处在紊流区，。则即并联管件的等效管件的图５（３）混联既有管件串联又并联的管路称为混联管件。有串联、并联管件的知识不难分步求出混联管件的参数。5.管网系统的模拟方法根据以上分析可知，当我们得到