管网基本定理及其数学模型.doc

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1、管网基本定理及其数学模型摘要：本文讨论水力模型的基本形式和管网中管件的定理，以及在水力分析中的应用。作者提出了管网部件的概念，并给出管件的定义及其组合基本定理。文中指出根据基本定理的两个重要参数―管件的比例系数和管件的指数系数，可以确定管件任一断面的幂函数数学模型，并给出模型的求法。文中也讨论基本定理的应用和管网水力学分析方法。关键词：管网水力学模型管件一、引言一般管网的管段水力计算沿用理论公式或经验公式，在国外它们也称为Darcy-Weisbach公式或Hazen-Williams公式。两个公式是一致的，只是表达形式不同。上述公式是管

2、网分析的基础，无论树状管网或环状管网水力分析一般都是从管网中任一个节点开始，或从水源端开始逐段计算分析最后得到全部管网的水力参数。这种传统计算方法只能得出管网的静态参数，无法准确给出管网在与水泵联合工作的动态情况，即给出整个系统的状态参数的变化情况。如Ｑ、Ｈ为水源节点，即根据Ｑ、Ｈ值选择水泵，期望能使管网工作在选定的Ｑ、Ｈ值附近。现代管网分析，从精确输水、节水、节能和高效利用能源考虑，特别是一些需要实时控制的系统，关注管网系统的实时状态，以及管网与水源联合工作的状态变化，已经显得十分必要了。本文作者于1988年发表了《喷灌系统自适应模拟

3、方法》，文中给出了树状管网的动态模拟方法。随着人们对节能、节水的需求越来越迫切，有必要对管网分析的理论进行全面的探讨。本文在此提出解决复杂管网分析问题所需的基本原理和方法。二、Darcy-Weisbach和Hazen-Williams公式Darcy-Weisbach公式：一般沿程阻力系数f=f(Q),即f是流量Ｑ的函数，但在紊流的流态时，f与Ｑ无关。Hazen-Williams公式：这里如管网布置完成，管长、管道采用的材料已确定，两者经变换可得到统一的形式，不妨将两者的写成统一的形式如下：（１）式中：a,b―为不等于零的待定实数。根据G

4、BJ85-85《喷灌工程技术规范》给出的水头损失计算公式，，容易得到：，。在紊流的流态时，一般b为的实数。即在其有意义的定义域为单调增的幂函数。5图１图１即为式（１）的函数曲线。定义１：将式（１）所表达的函数曲线称为管件的流量压力特征曲线。定义２：将对水流呈现阻力并消耗能量的管网部件称为管件。管件具有式（１）所示的数学模型。根据定义２，也将式（１）称为管件的幂函数数学模型。不难看出式（１）对局部损失也成立，故管件数学模型也可用来表示管网中产生局部损失的部件。这样，管件就将管网中的管段、管接头、闸阀、三通和喷头等管网中的部件包含在内，它们

5、在管网中都表现为消耗水能，故它们都有如式（１）的相同数学模型。定义３：对于在管网中能提升管道压力，并向管网提供水量的部件称为水源部件。简称：水源。一般的水源部件有：水泵、高位水塔、水库等。对于水泵其数学模型一般采用以下方程：（２）式中：Ａ、Ｂ、Ｃ―为常数。对于理想的水库，其模型可表示为：　　　　　　　　　　　（３）其中：Ｃ―为常数。一般水源数学模型总可以表示为：（４）式中：a―为指数系数。三、管件组合数学模型1.管件组合模型定理１：任何管件的组合，其组合后的管件，以管件断面的流量和压力水头表示的数学模型具有幂函数的形式。即无论组合前和组

6、合后管件数学模型都是幂函数，只是它们的比例系数和指数系数的值有所变化。证明如下：这里用数学归纳法证明之。（１）当n=1时其中Ｈo是第一个管件的出水端断面位置水头，该水头是相对的。当以第一个管件的首端断面定为基准点时，Ｈo=0（以下如没有特别指出Ｈ表示断面的压力水头，Ｑ表示通过断面的流量）则这就是说n=1时定理１成立。（２）假设当n=k时，有5对于没有流量交换的管件，上面的定理１成立，则那么，管段的进水端k+1不失一般性，不妨设，因幂函数在定义域的第一象限内是单调增函数，总存在一个使得令则有：即成立。对于有流量交换的管件这里用q来表示管件

7、进口端的流量与出口端流量的不同。虽然，但两者具有可互换性，如，用以上方法，同理可得如，因幂函数在定义域的第一象限内是单调增函数，总存在一个使得综上所论，可得成立，证毕。2.流量与压力水头互为幂函数定理2：管件中的流量Ｑ与压力水头Ｈ互为幂函数的映射。该定理容易从可以推得只要令：即可。从以上分析中可知定理2成立。以下称：a,b为管件的流量系数，管件的流量指数；­为管件的压力水头系数，管件的压力水头的指数。3.管件两端模型之间的关系（１）对于没有流量交换的管件已知管件进水端的幂函数模型，可以求出管件出水端的幂函数表达式。已知：，由于即

8、图２等式右边已知，令，并两边取自然对数，则有在管件幂函数有意义的第一象限，取Q=1，Q=e两点可得（５）5（６）（２）对于有流量交换的管件已知进水端的：令两边取对数，则有图３如已知上述函数曲线上的两点可用以