复杂管网数学模型及其分析方法

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1、复杂管网数学模型及其分析方法摘要：这里将介绍基于管网基本定理的复杂管网数学模型分析法，该方法也称节点法。利用该方法可以将复杂管网的邻接矩阵将简单管道与复杂管网的分析方法统一起来。同时给出非线性矩阵方程的迭代解法初始参数的计算方法。关键词：非线性管网节点法水力分析复杂管网分析方法有多种，近年新出现的有图论法和有限元法[3][4]。两种方法各有所长，图论法将复杂的管网处理为相应的“网络图”，并建立相应的数学模型以适用范围各不相同管网水力计算。有限元法通过局部的管元分析得出管网的数学模型。管网水力分析的基础是管段的水力学模型。常用的数学模型是采用Darcy-oody图表来求出沿

2、程损失系数f[2]。2.节点分析法如令：图1中与矩阵等式（6）对应的是以下矩阵：（7）对①节点有：对②节点有：表明矩阵等式可以表示节点流量守恒定律。根据流量守恒定律和能量守恒定律，有的学科也称为Kirchhoff第一定律和第二定律。管网系统的两个定律可表达为：（8）这也是节点分析法的关键方程组。其中：（9）式中：Ac节点与管段的邻接矩阵；Af节点与已知水头的邻接矩阵；Hc管段的节点水头矢量；Hf已知节点水头矢量。而且，是式（4）在管网中的矩阵表达。以图1的管网为例有：而且，采用计算机程序自动搜索分析，容易得到以上矩阵。同时，用矩阵表示的是：=（10）矩阵运算后可表示成以下

3、方程：（11）其中H6是已知水塔的水头。式（10）表明矩阵方法可以表示节点能量守恒定律。以上分析虽然是针对图1的实例进行，但没有设立管网联接及出流的特殊性条件，故所介绍的分析结果具有一般性。显然，这种结果也可以通过采用“图论法”和有限元法进行分析得到。3.方程的解法矩阵方程（8）是复杂管网的数学模型，对此模型的求解可以得到管网的水力学参数。如将Y(q)看作一个常数，该方程就是一个线性方程组，可将此线性方程组称为非线性方程（8）的伴随方程。注意到管网在第t-1时的流量为q(t-1)，在第t-1次计算时Y(q(t-1))是已知量；q(t)是管网在第t时的流量。实际上是在迭代运

4、算中令：Y(q(t))=Y(q(t-1))因大多数管网它们的管段内流速v都在1~3m/s之内。经验证明这样种情况下，令流速v=1作为t=0的初值比较合理。这时，矩阵方程（8）实际迭代时t为：式中：Ai为i管段的断面面积；n为管网的管段数。当在te时，迭代中，当时，认为方程解为：i=1,…,n；k=1,…,m；m为管网的节点数。其中，为一相对小的数，工程上，一般取就行了。的值越小计算机的运算时间就越长。由方程（8）变形得到方程：（12）式中，Hc管段的节点水头矢量，是待求的未知量；Hf为已知节点水头矢量。q=是管段内的流量矢量，是待求的未知量；d是管网的出水量矢量，是已知量

5、。用线性方程组的解法容易经3~4次迭代得到方程（12）的解。4.结论复杂管网可以用矩阵的形式表示，并可用节点法建立其矩阵方程。其方程为：（12）此方程是一个非线性方程，解此方程可用迭代法进行计算。迭代的初始参数及计算方法如下：当时，认为方程解为：i=1,…,n；k=1,…,m；n为管网的管段数，m为管网的节点数。[1]李鸣，管网基本定理及其数学模型[J]，节水灌溉，2001(1)8-11[2]HaestadMethods,ThomasM.odelingandManagement[M],HaestadPress,2003[3]石继，张丰周，魏永曜，图论法用于供水管网水力计算

6、的研究[J]，水利学报，1999(2)[4]康跃虎，微灌系统水力学解析和设计[C]，陕西科学技术出版社，1999.4