和差倍分及位置关系

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1、和差倍分及位置关系一、和差倍分问题　　线段或角的和差倍分问题，一般是通过平移、轴对称或旋转等变换构造全等代换线段，最终转化为证明相等的问题。　　1．在等边的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为外一点，且，，BD=DC.探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及的周长Q与等边的周长L的关系．　　　　　　　　　　　　　　　　　　图1　　　　　　　　　图2　　　　　　　　　　　图3　　(Ⅰ)如图1，当点M、N在边AB、AC上，且DM=DN时，BM、NC、MN之间的数

2、量关系是___________；此时　　　　___________；　　(Ⅱ)如图2，点M、N在边AB、AC上，且当DMDN时，猜想(I)问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并　　　　加以证明；　　(Ⅲ)如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，若AN=，则Q=___________(用、L表示)．　　解：(Ⅰ)如图1，BM、NC、MN之间的数量关系BM+NC=MN．　　　　　　此时．　　　　(Ⅱ)猜想：结论仍然成立．　　　　　　证明：如图，延长AC至E，使CE=BM，连接DE．　　　　　　　　　，

3、且．．　　　　　　　　　又是等边三角形，　　　　　　　　　．　　　　　　　　　在与中：　　　　　　　　　　　　　　　　　　(SAS)．　　　　　　　　　DM=DE，　　　　　　　　　　　　　　　　　　在与中：　　　　　　　　　　　　　　　　　　(SAS)　　　　　　　　　MN=NE=NC+BM　　　　　　　　　的周长Q=AM+AN+MN=AM+AN+(NC+BM)　　　　　　　　　　　　　　　　=(AM+BM)+(AN+NC)　　　　　　　　　　　　　　　　=AB+AC=2AB　　　　　　　　　而等边的

4、周长L=3AB　　　　　　　　　.　　　　　　　(Ⅲ)如图3，当M、N分别在AB、CA的延长线上时，若AN=，　　　　　　　　　则Q=2+(用、L表示)．　　2．在四边形中，对角线平分．　　(1)如图1，当，时，求证：；　　(2)如图2，当，与互补时，线段、、有怎样的数量关系？写出你　　　的猜想，并给予证明；　　(3)如图3，当，与互补时，线段、、有怎样的数量关系？写出你　　　的猜想，并给予证明．　　　　　　　　解：(1)在四边形中，　　　　　，　　　　　∴．　　　　　又，　　　　　∴．　　　　　∴．　

5、　　　　即．　　　　(2)．　　　　　证明如下：如图，过点分别作和延长线的垂线段，垂足分别为、．　　　　　　　　　　，　　　　　　　　　　．　　　　　　　　　　，，　　　　　　　　　　∴．　　　　　　　　　　∵，　　　　　　　　　　∴≌．　　　　　　　　　　∴．　　　　　　　　　　∴．　　　　　　　　　　由(1)知．　　　　　　　　　　∴．　　　　(3)．　　　　　证明如下：如图，过点分别作和延长线的垂线段，垂足分别为、．　　　　　　　　　　，　　　　　　　　　　∴．　　　　　　　　　　，　　　　　　　

6、　　　，　　　　　　　　　　∴.　　　　　　　　　　∵，　　　　　　　　　　∴≌．　　　　　　　　　　∴.　　　　　　　　　　延长至，使，联结.　　　　　　　　　　，，　　　　　　　　　　∴.　　　　　　　　　　∴≌．　　　　　　　　　　∴.　　　　　　　　　　∴.　　　　　　　　　　∴.　　　　　　　　　　∴.　　3．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E是AB上一个动点，若∠B=60°，AB=BC，且∠DEC=60°，确定AD+AE与BC的关系　　解:有BC=AD+AE.　　　　连结AC，过E作

7、EF∥BC交AC于F点.　　　　则可证△AEF为等边三角形.　　　　即AE=EF及∠AEF=∠AFE=60°.　　　　所以∠CFE=120°.　　　　又AD∥BC，∠B=60°，　　　　故∠BAD=120°.　　　　又∠DEC=60°，　　　　所以∠AED=∠FEC.　　　　在△ADE与△FCE中，　　　　∠EAD=∠CFE，AE=EF，∠AED=∠FEC，　　　　所以△ADE≌△FCE.　　　　所以AD=FC.则BC=AD+AE.　　4．如图，四边形ABCD中，AC、BD是对角线，AB=AC，∠ABD

8、=60°，过D作ED⊥AD，交AC于点E，恰有DE平分∠BDC．试判断线段CD、BD与AC之间有怎样的数量关系？并证明你的结论．　　结论：AC=BD＋CD．　　证法一：延长BD至，使得D=DC．　　　　　　∵DE平分∠BDC，　　　　　　∴∠1=∠2．　　　　　　∵ED⊥AD，　　　　　　∴∠ADC=90°＋∠1，∠3=90°－∠2．　　　　　　∵∠AD=180°－∠3=90°＋∠2．　　　　　　∴∠ADC=∠AD．　　　　　　在△ADC和