时滞反馈非线性扭振系统的稳定性与hopf分岔研究燕山大学

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1、时滞反馈非线性扭振系统的稳定性与Hopf分岔研究**基金项目:河北省自然科学基金(F2010001317,E2010001262),燕山大学博士基金(B451).作者简介：*时培明（1979-），男，黑龙江延寿人，博士，讲师，主要研究方向为扭振系统动力学，Email：spm@ysu.edu.cn；刘彬（1953-），男，黑龙江五常人，教授，博士生导师，主要研究方向为轧机振动和信息处理，Email：liubin@ysu.edu.cn。时培明1,*，刘彬1，韩东颖2，朱占龙1，侯东晓1（1.燕山大学电气工程学院，河北秦皇岛06

2、6004；2.燕山大学车辆与能源学院，河北秦皇岛066004）摘要：研究了具有Duffing-Vanderpol组合振子和时滞特性两惯量非线性扭振系统的稳定性和Hopf分岔问题。建立了两惯量非线性扭振系统的动力学方程，通过设计线性位移和速度时滞反馈控制器构造了扭振受控系统。采用多尺度法推导出极限环幅值与时滞参数之间的关系。在对系统零解稳定性分析的基础上,得出Hopf分岔产生的条件。通过数值模拟的方法研究了扭振系统Hopf分岔和极限环幅值控制问题。仿真研究表明，所设计的时滞反馈控制器既能控制极限环的幅值，也能控制Hopf分岔

3、的产生。关键词：扭振；Hopf分岔；极限环；时滞反馈控制中图分类号：O3220引言旋转机械是工业部门中应用最为广泛的一类机械[1-2]，例如汽轮机、压缩机、风机、轧机、机床等诸多机械都属于这一类。传动系统作为旋转机械的核心部分，在电力、能源、交通、冶金以及国防等领域发挥着无可替代的作用。旋转机械常常由于出现扭振而影响其正常工作甚至导致设备损坏，造成重大的经济损失。近年来，关于旋转机械扭振系统的机理及控制方法研究日趋活跃。文献[3]采用传递矩阵法建立了含连续质量的单轴扭转系统动力学方程，得到了连续传动轴的频响函数。文献[4]

4、采用拉格朗日方程建立了单个连续轴的扭振动力学方程，并得到了该轴在各种外力作用下的响应曲线。文献[5]根据4200立辊轧机的实测参数，采用理论分析和数值计算相结合的方法建立了中厚板立辊轧机主传动系统的4自由度非线性振动模型，通过对该模型的简化求解，得到系统线性振动下的全部响应。文献[6]提出了大型汽轮发电机组轴系扭振的递阶智能控制方案，并根据非线性科学理论分析了该智能控制系统的稳定性。文献[7]采用线性定常二次型全局最优控制理论对电力系统扰动下大型汽轮发电机组轴系产生的扭振进行主动控制。文献[8-10]分析了扭转振动自治系统

5、的稳定性：通过建立Lyapunov函数分析了自治系统在不同参数下的稳定性问题。然而，自治系统并不是恒久稳定的，在某些初始状态下系统不稳定，这样，就对控制其自治系统稳定提出了新的要求。本文通过设计线性位移和速度时滞反馈控制器来实现对一类自治系统的稳定性控制，着重研究了时滞参数对自治系统极限环幅值的影响以及Hopf分岔产生的条件。最后用数值仿真的方法证明了该控制方法的有效性，为实现该类自治系统的控制机理提供理论依据。1动力学方程的建立对于两惯量旋转机械扭振系统，设、为系统集中惯量的转动惯量，、为集中惯量的转角，、为集中惯量的转

6、速，、为外力矩。两惯量非线性扭振系统力学模型如图1所示。图中表示系统线性阻尼，表示系统非线性阻尼。表示系统线性刚度，表示系统非线性刚度。扭振系统的动能为(1)阻尼力表示为(2)图1二惯量扭振系统力学模型Fig.1Thetorsionalvibrationsystemmodelwithtwoinertia(3)考虑一、三次扭转刚度下的系统的势能为(考虑非线性刚度为)(4)把(2)式和(3)式代入动力学普遍方程(5)其中，，则(5)式第一项为(6)其中为广义坐标，为自由度数目，为作用力数目，广义力(广义力矩)为(7)将(2)式

7、和(3)式代入(7)式后得到本系统的广义力(广义力矩)为(8)(9)将(1)式、(2)式、(3)式、(4)式、(8)式和(9)式代入耗散系统的Lagrange方程(10)得到(11)(12)式中为系统集中惯量的角加速度。对于旋转机械扭振动力系统，由(11)式乘以减去(12)式乘以得到(13)将(13)式中的参数简化为，，，，，，，得到(14)考虑非线性阻尼项为Vanderpol振子，即(15)将(15)式代入(14)式，得(16)(16)式就是一类具有Duffing-Vanderpol组合振子的二惯量扭振系统的非线性动力学

8、方程。在研究强迫系统之前，先研究自由振动系统情况即静平衡态的非线性特性，这是因为静平衡态稳定性对共振周期解有一定的影响。本文采用线性时滞控制器来对系统进行Hopf分岔及其极限环幅值大小的控制。对于，受控系统为(17)为了便于摄动分析，式(17)化为(18)2摄动分析采用多尺度方法，可设(18)式的摄动解