第4章多自由系统自由振动01

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1、m2mm2mIn-phase0.7311Out–of-phase-2.731m1m2k3(x3-x2)-k2(x2-x1)m1m1k3(x3-x2)§4-1无阻尼系统自由振动的运动方程m1m2m3x1x2k1k2k3m1k2(x2-x1)-k1x1m1m2m3x1=1x2=0k1k2k3x3=0§4-2刚度影响系数和柔度影响系数刚度矩阵K的各元素kij（i=1,2,…,n；j=1,2,…,n）称为刚度影响系数。其物理意义为：在坐标xJ发生单位位移，而其他坐标的位移均为0，即xj=1,xr=0(r=1,2,…,n,r¹j)

2、，并且系统保持静平衡时，在xi处作用的力为kij。k11=k1+k2;k21=-k2;k31=0同理：k12=-k2;k22=k2+k3;k32=-k3k13=0;k23=--k3;k31=k3若按刚度影响系数定义，物体位移分别为x1、x2、x3，为保持系统平衡需加于物体的力的力P1、P2、P3应分别为矢量表示：柔度系数矩阵F表示系统在单位力矢量作用下各坐标的位移量。n自由度系统的柔度矩阵F也为n阶方阵，其元素fij称为柔度影响系数，其物理意义为：在xj处作用单位力，而其分坐标处不受力，即Pj=1，Pr=0（r=1,2,

3、…,n;r¹j）时，xi处所产生的静位移为fij。m1m2m3x1=1/k1x2=1/k1k1k222k3x3=1/k1其中：同理：若按柔度影响系数定义，物体分别受力P1、P2、P3作用，则物体的静位移x1、x2、x3分别为：矢量表示：由即K与F互为逆阵：F=K-1,K=F-1。由位移互等定理可知，fij=fji,kij=kji,K与F为对称矩阵：K=KT，F=FT若刚度系数矩阵或柔度系数矩阵已知，则可用动静法直接列出系统运动方程。即K、F已知，将物体运动产生的惯性力作为作用在系统上的作用力P，则有§4-3固有频率主振型

4、与正交性设系统运动方程的解为：代入系统运动方程得：系统的特征方程：上式是w2的n次方程，由此方程可以求得系统的n个特征值。将各特征值平方根就是系统的固有频率,按小到大的顺序排列为w1

5、比或n个振型矢量称为对应于各固有频率的固有振型或主振型。依次为第一主振型、第二主振型等。主振型的计算除线性代数方程的基本计算方法外，也可利用特征矩阵H=（K-w2M）的伴随矩阵来求。由于此时则即振型矢量A说法不一与Ha的任何一列成比例。因此由对应于特征值的伴随矩阵Ha中任意一列可以求得各相应的振型矢量。按顺序将n个振型矢量为列组成一n阶方阵，—N自由度系统的振型矩阵§4-4无阻尼系统对初始条件的响应§4-5无阻尼系统对激励力的响应§4-6阻尼系统的一般响应