多自由度自由振动.ppt

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1、工程中的结构有些可简化为单自由度体系分析单层工业厂房水塔有些不能作为单自由度体系分析，需简化为多自由度体系进行分析多层房屋、高层建筑不等高厂房排架和块式基础§10-5多自由度体系的自由振动按建立运动方程的方法，多自由度体系自由振动的求解方法有两种：刚度法和柔度法。刚度法通过建立力的平衡方程求解，柔度法通过建立位移协调方程求解，二者各有其适用范围。多自由度体系自由振动的问题，主要是确定体系的全部自振频率及其相应的主振型。1、刚度法：（建立力的平衡方程）两个自由度的体系y1(t)r2r1y2(t)y1(t)y2(t)r2r1r1=k11y

2、1+k12y2r2=k21y1+k22y2质点动平衡方程:即:设:............结构位移形状保持不变的振动形式称为主振型或振型.y1(t)y2(t)r2r1乘y1(t)k11k21乘y2(t)k12k2211r1=k11y1+k12y2r2=k21y1+k22y2kij表示使j点产生单位位移(其它点位移=0)时,在i点需施加的力(称为刚度系数).振型计算公式频率计算公式频率方程....振型方程与ω2相应的第二振型：因为D=0，两个振型方程式线性相关的，不能求出振幅的值，只能求出其比值求与ω1相应的第一振型：ω2的两个根均为实

3、根；矩阵[k]为正定矩阵的充分必要条件是：它的行列式的顺序主子式全部大于零。故矩阵[k]为正定矩阵。k11k22-k12k21>0ω2的两个根均为正根；与ω2相应的第二振型：求与ω1相应的第一振型：多自由度体系能够按某个主振型自由振动的条件是：初始位移和初始速度应当与此主振型相对应。几点注意：①ρ1ρ2必具有相反的符号。②多自由度体系自振频率的个数=其自由度数，自振频率由特征方程求出。③每个自振频率相应一个主振型。主振型是多自由度体系能够按单自由度体系振动时所具有的特定形式。④自振频率和主振型是体系本身的固有特性。一般解：在这种特定的

4、初始条件下出现的振动，在数学上称为微分方程组的特解，其线性组合即一般解。<0>0例m2m1k2k1质量集中在楼层上m1、m2，层间侧移刚度为k1、k2k21k111解：求刚度系数：k11=k1+k2,k21=－k2,k22k121k22=k2,k12=－k21)当m1=m2=m,k1=k2=kmkmk61803.225322=+=wmkmk38197.025321=-=w()()kmkmk02222=---ww代入频率方程：+1)当m1=m2=m,k11=2k，k12=－ｋmkmk61803.225322=+=wmkmk38197.0

5、25321=-=w求振型：12k12111mkw--2111YY=ω1→第一主振型：Y21=1.618Y11=1第一主振型12k12211mkw--2212YY=ω2→第二主振型：Y22=－0.618Y12=1第二主振型2)当m1=nm2,k1=nk2k11=（1+n）k2，k12=－k2求频率：求振型：如n=90时当上部质量和刚度很小时，顶部位移很大。（鞭梢效应）第一振型：第二振型：特征方程：+++例试求图示体系的频率和振型1k21k116i/l6i/l12i/l12i/l6i/l6i/l1k22k126i/l6i/l3i/l3i/

6、lEI1=∞m1EI1=∞m2ii2i2ill解(1)求刚度系数(2)求频率解得将ω=ω1代入振型方程,得第一振型将ω=ω2代入振型方程,得第二振型(3)求振型3.36513.36510.19810.1981例求图所示两层刚架的自振频率和振型。已知横梁为刚性，各立柱的抗弯刚度，立柱的质量忽略不计，横梁的质量m1=m2=5000kg，每层的高度5m。解：两个自由度体系，设m1的位移为y1，m2的位移为y21.28091第二主振型10.7808第一主振型2、柔度法y1(t)y2(t)建立振动微分方程：（建立位移协调方程）m1、m2的位移y

7、1(t)、y2(t)应等于体系在当时惯性力作用下所产生的静力位移。................柔度法建立的振动微分方程δ11δ21P1=1δ12δ22P2=1频率方程振型方程：其中：λ=1/ω2Y1，Y2不能全为零。求得频率：频率方程和自振频率：设各质点按相同频率和初相角作简谐振动Y1，Y2是质点位移幅值........振动微分方程体系频率的数目总等于其自由度数目主振型(normalmodeshape)频率方程振型方程：其中：λ=1/ω2Y1，Y2不能全为零。不能有振型方程求出Y1，Y2的解，只能求出它们的比值。第一主振型第二主振

8、型频率的数目总等于其自由度数目主振型是体系由此主振型惯性力幅值所引起的静力位移。Y11Y21Y12Y22例求简支梁的自振频率和主振型。l/3l/3l/3解：1）求柔度系数P=1P=1求得频率：求得主振型：mm例求简支梁的