多自由度体系的自由振动ppt课件.ppt

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1、12.6　多自由度体系的自由振动●工程实例1)多层房屋的侧向振动，2)不等高排架的振动，3)块式基础的水平回转振动，4)高耸结构(如烟囱)在地震作用下的振动，5)桥梁的振动，6)拱坝和水闸的振动等，一般均化为多自由度体系计算。●目的1)计算自振频率，即，，…，。2)确定振型（振动形式），即，，…，或振型常数r1，r2（仅适用于两个自由度体系）。并讨论振型的特性——主振型的正交性。●方法1)刚度法——根据力的平衡条件建立运动微分方程。2)柔度法——根据位移协调条件建立运动微分方程。对于多自由度体系自

2、由振动分析一般不考虑阻尼。12.6.1两个自由度体系的自由振动1.刚度法(1)运动方程的建立若不考虑阻尼，取质量m1和m2作隔离体，质点上作用惯性力和弹性恢复力，根据达朗伯原理，可列出平衡方程结构所受的力、与结构的位移、之间应满足刚度方程是结构的刚度系数可得运动方程也可用矩阵表示为或缩写为式中，为质量矩阵；为加速度列阵；为刚度矩阵；为位移列阵。(2)运动方程的求解设1)在振动过程中，两个质点同频率（w）、同相位（a）。上式所表明的运动具有以下特点：2)在振动过程中，两个质点的位移在数值上随时间而变

3、化，但二者的比值始终保持不变，即常数这种结构位移形状保持不变的振动形式，称为主振型或振型。这样的振动称为按振型自振（单频振动，具有不变的振动形式），而实际的多自由度体系的自由振动是多频振动，振动形状随时间而变化，但可化为各个振型振动的叠加。(3)求自振频率wi将代入运动方程得或为了要求得Y1、Y2不全为零的解答，应使其系数行列式为零，即由此式可确定体系的自振频率wi，因此称为频率方程或特征方程。将D展开，整理后，得由此可以解出w2的两个根，即由上式可见，w只与体系本身的刚度系数及其质量分布情形有关

4、，而与外部荷载无关。约定w1

5、自由振动可以看作是两个频率及其主振型的组合振动。相应于w1，有一组特解（前述甲组特解），相应于w2也有一组特解（乙组特解），它们是线性无关的。由这两组特解加以线性组合，即得通解为甲组特解乙组特解式中，两对待定常数A1、a1；A2、a2由初始条件(y0和v0)确定。两个自由度体系可按第一主振型、第二主振型或二者的组合振动。体系能按某个振型自振，其条件是：y0和v0应当与此主振型相对应。要想引起按第一主振型的简谐自振，则所给y01/y02或v01/v02必须等于r1；要想引起按第二主振型的简谐自振，则

6、所给y01/y02或v01/v02必须等于r2。否则，将产生组合的非简谐的周期运动。(5)标准化（规一化）主振型为了使主振型的振幅具有确定值，需要另外补充条件，这样得到的主振型，叫做标准化主振型。一般可规定主振型中某个元素为给定值，如规定某个元素Yji等于1，或最大元素等于1。第一主振型第二主振型多自由度体系自由振动的重要特性：1)多自由度自振频率和主振型的个数均与体系自由度的个数相等；2)每个自振频率有其相应的主振型，而这些主振型就是多自由度体系能够按单自由度体系振动时所具有的特定形式；3)多自

7、由度体系的自振频率和主振型是体系自身的固有动力特性，它们只取决于体系自身的刚度系数及其质量的分布情形，而与外部荷载无关。【例12-22】图示框架，其横梁为无限刚性。设质量集中在楼层上，试计算其自振频率和主振型。解：本例两层框架为两个自由度体系，用刚度法计算较为方便。(1)求刚度系数kij(2)求自振频率wi将m1=2m和m2=m以及已求出的kij代入所以由此得(3)求主振型（振型常数ri）第一主振型第二主振型(4)作振型曲线，如图所示。第一主振型第二主振型2.柔度法作用下所产生的静力位移（图a）对

8、于图示体系，在自由振动中的任一时刻t，质量m1、m2的位移、应当等于体系在当时惯性力思路(1)运动方程的建立dij是体系的柔度系数也可写为或以上运动方程，也可利用刚度法所建立的运动方程间接导出：因所以，有前乘以[d]，得注意：[d]与[K]虽然互为逆阵，但[d]中之dij与[K]中之kij元素一般并不互逆（仅单自由度体系例外）。(2)运动方程的求解(3)求自振频率wi设特解代入运动方程，并消去公因子表明，主振型的位移幅值(Y1及Y2)，就是体系在此主振型惯性力幅值作用下引起的静力位