多自由度体系的振动.ppt

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1、1§3.3主振型的正交性和正则坐标1、主振型的正交性设结构体系具有n个自由度，对于第s和第t个固有模态，由方程:得:2转置§3.3主振型的正交性和正则坐标两式相减3另一个正交关系式：振型的正交关系式（orthogonalityrelation）相对于质量矩阵[M]来说，不同频率相应的主振型是彼此正交的。主振型第一正交条件§3.3主振型的正交性和正则坐标两个正交关系式是建立在s≠t基础的。相对于刚度矩阵[K]来说，不同频率相应的主振型是彼此正交的。主振型第二正交条件4Ms和Ks分别称为第s个主振型相应的广义质量(generalizedmass)和广义刚度(g

2、eneralizedstiffness）对于s=t的情形，令:§3.3主振型的正交性和正则坐标每个主振型都有相应的广义质量和广义刚度。5§3.3主振型的正交性和正则坐标可以利用广义质量Ms和广义刚度Ks计算多自由度体系的第s个自由振频率。由广义刚度和广义质量求频率的公式。是单自由度体系频率公式的推广。6例：图示体系的刚度矩阵[K]和质量矩阵[M]为：解：（1）演算第一正交性。m2mmk三个主振型分别如下，演算正交性。§3.3主振型的正交性和正则坐标7（2）演算第二正交性。同理：同理：§3.3主振型的正交性和正则坐标8对任意一个位移向量{y}，将其写成主振型

3、的线性组合：将左乘方程的两边:§3.3主振型的正交性和正则坐标可将任一位移按主振型展开。由主振型的正交性：9主振型正交的物理意义：1）每一主振型相应的惯性力在其他主振型上不做功，其数学表达式为：§3.3主振型的正交性和正则坐标103）各个主振型都能够单独出现，彼此间线性无关。主振型正交的物理意义：2）当一体系只按某一主振型振动时，不会激起其他主振型的振动。§3.3主振型的正交性和正则坐标1）每一主振型相应的惯性力在其他主振型上不做功，其数学表达式为：112、重根时的正交性问题§3.3主振型的正交性和正则坐标设频率方程具有一个二重根，即两个主振型和对应的固有

4、频率彼此相等，记为，而其他频率都彼此不同。（a）（b）是一个与频率对应的主振型向量。12取一个由和组成的新的主振型，即§3.3主振型的正交性和正则坐标如果两个主振型和彼此不正交，即和就是两个彼此正交的主振型。13由于与其余不相等，与对应的任意一个主振型都与其余频率的主振型(i=3,4,…,n)彼此正交。§3.3主振型的正交性和正则坐标在具有n个自由度的体系中，即使在频率方程中出现两重根，仍然可以选到n个主振型，使它们彼此正交。n个自由度的体系一定有n个彼此正交的主振型。14对于n个自由度体系，将n个彼此无关的主振型向量组成一个方阵：3、主振型矩阵和正则坐标

5、称为主振型矩阵（modalmatrix）。§3.3主振型的正交性和正则坐标15利用主振型矩阵和主振型的正交性，可以得到:§3.3主振型的正交性和正则坐标16为广义刚度，对角矩阵称为广义刚度矩阵。对角矩阵称为广义质量矩阵。§3.3主振型的正交性和正则坐标矩阵中的非对角元素全为零，对角线的元素就是广义质量17n个自由度体系的振动方程：质量矩阵[M]和刚度矩阵[K]都是对角矩阵，方程组就是n个独立的方程，每个方程只有一个未知量。相当于求解n个单自由度体系的振动问题。§3.3主振型的正交性和正则坐标质量矩阵[M]和刚度矩阵[K]不是对角矩阵。方程是一个耦合方程。1

6、8设一个坐标变换：§3.3主振型的正交性和正则坐标为主振型矩阵；为质点位移向量，称为几何坐标；称为正则坐标(normalizedcoordinate)向量。将坐标变换式代入振动方程，并左乘，得19利用广义质量矩阵和广义刚度矩阵的定义，有利用正则变换，可以把一个n元联立方程组简化为n个独立的一元方程，将一个具有n个自由度的结构体系的耦合振动问题简化为n个独立的单自由度体系的振动问题，计算工作大为简化。解耦条件：（1）线性结构（2）[M]、[K]具有正交性§3.3主振型的正交性和正则坐标201、柔度法（忽略阻尼）因为在简谐荷载作用下，荷载频率在共振区之外，阻尼

7、影响很小；在共振区之内时，阻尼虽对振幅影响很大，但都能反映共振现象。..`..P（2）动位移的解答及讨论通解包含两部分：齐次解对应按自振频率振动的自由振动，由于阻尼而很快消失；特解对应按荷载频率振动的简谐振动是平稳阶段的纯强迫振动。（1）建立振动微分方程各简谐荷载频率相同相位相同，否则用其他方法§3.4两个自由度体系的强迫振动tPsintPsiny1y221n个自由度体系，存在n个可能的共振点设纯强迫振动解答为：代入：22（3）动内力幅值的计算....荷载、位移、惯性力同频、同相、同时达到最大。位移达到最大时，内力也达到最大。求内力时可将动荷载和惯性力的幅

8、值作为静荷载作用于结构，用静力法求出内力，即为动内力幅值。或用叠加